Development, evolution, and new development of stochastic analysis of infinite particle systems

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KPZ普遍クラスに属する可解モデルを有限温度自由フェルミオンに関連付けて解析する新手法を開発し、半無限KPZ系の新しい明示公式を得た。半無限KPZ系に対する揺らぎの極限分布を決定した。１次元対称排他過程の大偏差を、古典可積分系との関係を用いて決定する論文を出版した。その後この手法を他の初期条件や他のモデルの解析に応用する研究を進めた。ソフトエッジ型極限の方程式の導出のため、Deift達の漸近評価を適用し、相関関数等の精密な一様な評価を導き、有限粒子系から無限粒子系への収束を示した。2次元球面上に spherical ensemble を考えるとランダム行列の固有値として得られる行列式点過程の一般化が得られ、点の数を無限大にする極限で、ベッセル関数によって表現される相関核を持つ行列式点過程に収束する。同様の問題をコンパクトリーマン多様体上の行列式点過程で設定して、接空間上に指数写像で引き戻した行列式点過程が、同様の普遍的な行列式点過程に収束することを示した。相互作用粒子系の相分離現象を解明し、分離境界面の運動として平均曲率運動、ホイヘンスの原理の導出を行った。また特異な確率偏微分方程式の長時間挙動について調べた。これらの成果は、国際数学者会議で報告した。エルミート行列に値をもつブラウン運動の場合、その固有値過程は固有ベクトル過程と独立に議論することが出来る。これに対して、非エルミートな場合には、固有ベクトルの汎関数である overlap 行列の時間発展と固有値過程とが結合する。非エルミート行列値ブラウン運動に対して定義される 正規化された Fuglede-Kadison行列式の時間発展に伊藤解析を適用した。この行列式の対数微分から、固有値やoverlap 行列の対角成分の重みをもった固有値の経験分布の時間発展系を導出した。また、それらの平均値に対して偏微分方程式系を導出した。