量子曲線に基づく量子パンルヴェ方程式の構築と応用

本研究の申請時に、「非可換な『量子曲線』の観点から離散パンルヴェ方程式を考察し、その量子化を目指す」ことを研究目的とした。また、「この問題が数学や数理物理の様々な分野と関連しており、それらとの相乗的発展が期待される」とした。申請時において、量子モノドロミー保存変形、特に差分系の場合の研究は限られたものであったが、2021年のS.Shakirovの結果を契機として新たな進展が生まれつつある。本年度の研究において、研究代表者は、粟田英資、長谷川浩司、菅野浩明、大川領、S.Shakirov、白石潤一との共同研究により、Shakirovが構成した方程式に関して、以下のことを明らかにした。(1) Shakirovの方程式はJimbo-Sakaiのq-変形パンルヴェVI型方程式の長谷川による量子化と等価である。(2) 方程式の背景にaffine D5型Weyl群の非可換変数による表現がある。(3) 自励的な場合に保存量が存在し、その保存量は期待される量子曲線と一致する。(4) 方程式の形は微分の場合(4dゲージ理論に対応)と大きく異なりqを1にする極限は非自明であるが、その極限を適切にとることができて微分の場合の結果を正しく再現する。さらに、AGT対応、微分の場合の結果、計算機実験等に基づいて、Shakirov方程式の級数解が5次元ゲージ理論の分配関数で表されることを予想し定式化した。上記以外にも、以下の成果があった。山田は量子曲線をミラー対称性へ応用する計算手法について整理した。分担者の太田は離散非線形シュレーディンガー系について、rogue wave 解の構成を一般化した。分担者の高山は、交点数理論等を応用して Feynman 積分の研究を進展させた。

本研究の申請時に、「非可換な『量子曲線』の観点から離散パンルヴェ方程式を考察し、その量子化を目指す」ことを研究目的とした。また、「この問題が数学や数理物理の様々な分野と関連しており、それらとの相乗的発展が期待される」とした。申請時において、量子モノドロミー保存変形、特に差分系の場合の研究は限られたものであったが、2021年のS.Shakirovの結果を契機として新たな進展が生まれつつある。本年度の研究において、研究代表者は、粟田英資、長谷川浩司、菅野浩明、大川領、S.Shakirov、白石潤一との共同研究により、Shakirovが構成した方程式に関して、以下のことを明らかにした。(1) Shakirovの方程式はJimbo-Sakaiのq-変形パンルヴェVI型方程式の長谷川による量子化と等価である。(2) 方程式の背景にaffine D5型Weyl群の非可換変数による表現がある。(3) 自励的な場合に保存量が存在し、その保存量は期待される量子曲線と一致する。(4) 方程式の形は微分の場合(4dゲージ理論に対応)と大きく異なりqを1にする極限は非自明であるが、その極限を適切にとることができて微分の場合の結果を正しく再現する。さらに、AGT対応、微分の場合の結果、計算機実験等に基づいて、Shakirov方程式の級数解が5次元ゲージ理論の分配関数で表されることを予想し定式化した。上記以外にも、以下の成果があった。山田は量子曲線をミラー対称性へ応用する計算手法について整理した。分担者の太田は離散非線形シュレーディンガー系について、rogue wave 解の構成を一般化した。分担者の高山は、交点数理論等を応用して Feynman 積分の研究を進展させた。