位相的場の理論とミラー対称性

N=2超共形場理論およびランダウ=ギンツブルグ模型に基づく位相的場の理論の立場からのカラビ=ヤオ多様体のミラー対称性が本研究の研究課題であった。研究計画にあげた3つのテーマ、1.シグマ模型と可積分系、2.周期積分とミラー射像、3.BRSコホモロジーとA無限大代数、のうちでは、特に1.について大きな進展が得られた。すなわち、シグマ模型として見た場合の標的空間の複素次元cが1未満の場合について、位相的場の理論の可積分構造を多い種数のリーマン面の寄与も含めて完全に解明することができた。具体的には、まず、多い種数のリーマン面への拡張を許すc<1の模型の分類を扱い、種数0で許される多くの解のうち、N=2超共形場理論による定式化を持つADE模型のみに制限されることをしめした。次に、幾何学的解釈をもつ模型、特に複素1次元(2次元)射影空間の場合に、高い種数における可積分構造を解明した。テーマ2.については、複素1次元トーラスの場合の計算が進行中である。本研究の結果、cが1以上の場合、位相的場の理論の可積分構造は高い種数で一般に任意性を持つことが明らかになった。これはマージナル作用素の存在に由来しており、テーマ3.のBRSコホモロジーの構造を反映している。ミラー対称性では、まさにこの任意性部分が本質的であり、この点の解明が将来の課題として残された。

N=2超共形場理論およびランダウ=ギンツブルグ模型に基づく位相的場の理論の立場からのカラビ=ヤオ多様体のミラー対称性が本研究の研究課題であった。研究計画にあげた3つのテーマ、1.シグマ模型と可積分系、2.周期積分とミラー射像、3.BRSコホモロジーとA無限大代数、のうちでは、特に1.について大きな進展が得られた。すなわち、シグマ模型として見た場合の標的空間の複素次元cが1未満の場合について、位相的場の理論の可積分構造を多い種数のリーマン面の寄与も含めて完全に解明することができた。具体的には、まず、多い種数のリーマン面への拡張を許すc<1の模型の分類を扱い、種数0で許される多くの解のうち、N=2超共形場理論による定式化を持つADE模型のみに制限されることをしめした。次に、幾何学的解釈をもつ模型、特に複素1次元(2次元)射影空間の場合に、高い種数における可積分構造を解明した。テーマ2.については、複素1次元トーラスの場合の計算が進行中である。本研究の結果、cが1以上の場合、位相的場の理論の可積分構造は高い種数で一般に任意性を持つことが明らかになった。これはマージナル作用素の存在に由来しており、テーマ3.のBRSコホモロジーの構造を反映している。ミラー対称性では、まさにこの任意性部分が本質的であり、この点の解明が将来の課題として残された。