共形場理論における相関関数の積分表示とその拡張

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1)位相的場の理論、および位相的重力理論は、リーマン面や各種のインスタントンのモジュライ空間の幾何を場の理論的に調べる手段を与える。これらの理論は、N=2超共形対称性、特異点理論、非線形可積分系等と結びつくことにより、様々な角度から、繊細な研究が可能となる。我々は、江口 徹、菅野 浩明、S.-K.Yang氏との共同研究で、これらの様々な理論の関係を調べてきた。主な成果は、次の二点である。a)位相的場の理論を位相的重力理論に結合させた時に生ずる、重力的descendantsについて、その起源をN=2超共形対称性のBRST形式に基づいて明らかにした。b)位相的重力理論の相関関数に対する、recursion relationと特異点理論のGauss-Manin方程式の関係を明らかにし、0点関数の周期積分公式を与えた。これらの成果により、少くとも種数0かつc<1に関する限り、上述のような様々な理論の関係が完全に明らかになった。2)N=2超共形対称性とCalabi-Yau多様体の関係は、最近のmirror対称性の発見により、多くの研究者の注目するところとなった。これらの理論の具体的計算にあたっては、N=2Landau-Ginzburg模型が有効であることが知られている。元来N=2Landau-Ginzburg模型は、GrobalなN=2超対称性により特徴づけされており、LocalなN=2超共形対称性やCalabi-Yau多様体との関係は、必ずしも明確ではなかった。我々は、Wittenによる最近の研究に基づき、河合 俊哉、S.-K.Yang氏との共同研究でこの問題を考察した。すなわち、N=2超共形対称性と楕円的種数の一般的関係に基づき、N=2Landau-Ginzburg模型とCalabi-Yauシグマ模型の各々の楕円的種数の公式を与え、両者の比較をした。