W代数の表現と共形場理論の研究

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本科学研究費による研究の内で主なものは次の2のである:I)アフィン・スーパー代数の分母公式とその数論的応用:長さが零のルートを含むスーパー代数は、そのW代数がN=2 super conformal代数及びそれを一般化したものを与えるなどの事情が明らかになるにつれて重要性を増している。筆者はこのようなスーパー代数についてtypicalな場合に指標公式,公母公式を導いた。公母公式を記述するために、リー環にassociateしたindefiniteなテーダ函数を導入した。そして応用例として数論的な公式を導出した。特にsl(2/1)の時には、分母公式を特殊化したものは、自然数を2個又は4個の平方数の和に分解する個数についてのGaussの公式及びJacobiの公式を与え、またランクの高いスーパー代数の場合には、2m個の平方数の和に分解する方法の個数を表現論的に記述する公式が得られる。II)リー環によるスピン・モデルの構成スピンモデルはJonesにより、結び目の不変量を構成するために導入された。筆者はリー環の表現論の立場からスピンモデルの研究に着手しその結果、リー環gの次のウェイト格子の定めるアーベル群の上に、スピンモデル及びgeneralized generalized spin modelを構成した:1)P/uQ^v 但しu∈〓2)P^v/uP^v 但しu∈〓 st.gcd(u,gk^v)=13)P/uQ gは対称で、u∈〓 st.(u,g+1)=1ここでgはdual Coxeter数,k^vはdual tier数,P(or P^v)は(CO-)ウェイト格子,Q(or Q^v)は(CO-)ルート格子である。更にIRF model,Vertex modelとそれに付随したR行列も、上と同じアーベル群の上に構成した。これと同時に、Gauss和の公式をリー環に付随した公式に拡張した。以上の研究成果をまとめた論文は、今準備中である。