無限次元リ一環の表現と係型函数及び共形場理論の研究

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有限次元単純リ-環をgとして,gに付随したアフィン・リ-環およびw代数をそれぞれg,W(g)で表わす。FeiginーFrenkelの理論によれば,gに付随したW代数W(g)は,アフィン・リ-環gの展開環のBRST複体のコホモロジ-空間として構成することが出来る。我々は本研究課題において,W代数W(g)の「表現」の構成とその指標を研究した。アフィン・リ-環の表現からBRST複体のコホモロジ-空間を作り,DrinfeldーSokalov Reductionの量子化を行なうことによってW代数の表現空間を構成して,そのBRST複体のオイラ-・ポアンカレ指標を計算した。そして,アフィン・リ-環の表現が,(数年前に我々が発見した)admissible表現のときには,オイラ-・ポアンカレ指標は,もとのadmissible表現の留数と一致することを示した。また,W代数の既約表現の指標のモジュラ-変換則を調べ,Verlindeの公式を用いてFusion則を求めた。この場合,非常に特徴的な現象は,admissible表現のFusion係数には負の値が現われるのに,その留数のFusion係数は常に非負となって,ghostが消滅することである。我々は更に,DrinfeldーSokolov Reductionを,或る種のス-パ-・リ-環についても適用して,ス-パ-・ヴィラソロ代数(NeverーSchwarz代数,Ramond代数およびそれらを拡張したもの)をス-パ-・リ-環に付随するW代数として構成し,それの表現および指標を求めた。また,階数2のヴィラソロ代数として重要なN=2ス-パ-・コンフォ-マル代数についても,従来のcoset法とは異なる構成法を与えた。Coset法は,W代数を構成する際にス-パ-・リ-環とその部分代数を用いるものであるが,我々の方法は部分代数を使うことなく,ス-パ-・リ-環から直接にN=2ス-パ-・コンフォ-マル代数とその表現を構成するものである。