保型形式のみたす可積分系

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超越函数を研究する際に、基本になるのはその函数が満たす微分関係式である。代数函数の場合には、その函数が満たす関係式が多く、かえって基本になる微分方程式を選び出すことが難しい。しかるに、超越函数の場合には、微分関係式が少ないので、この関係式で函数を統制することが容易である。しかし、一般の超越函数は線形の微分方程式を満たさない。そこで、無限階の方程式なり、非線形の方程式を用いる必要がある。この研究では、テータ零値が満たす非線形のホロノミックな方程式を考える。出発点になるのは、古典的なハルフェンの方程式である。これはレベル2の保型形式が満たす微分方程式であり、簡単な力学系である。この研究では、ハルフェンの方程式の解空間を完全に決定し、ハルフェンの方程式がレベル2の保型形式を統制するものであることを示している。このハルフェンの方程式はいろいろな方向に一般化できる。一つの方向は、一般のモジュラー群に対する保型形式について、同様の微分方程式を導くことである。現在、レベルが3と4の場合についてはハルフェン型の方程式を求めた。特に、レベルが3の場合には、ハルフェンの方程式と類似の形をしており、一般のモジュラー群を考察するにあたって、きわめて示唆的である。これらのハルフェン型の方程式はすべて、SL(2,C)-対称性を持っている。レベル2と3の場合、これらの方程式は、シュワルツ微分で書き直される。このことを一般化して、保型形式に関係なく、フックス型方程式に対応するシュワルツ微分から、力学系を考察することができる。超幾何方程式の場合は古典的に知られている。