Special solutions to discrete integrable systems and transcendental numbers

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本年度は、Euler-Poisson-Darboux 方程式のq-類似について研究した。Euler-Poisson-Darboux 方程式は偏微分方程式でありながら、特殊函数論的な性質を持つ方程式であり、Darbouxの曲面論にも詳しく解説されている。1980年代には、亀高惟倫、岡本和夫らの研究があり、Euler-Poisson-Darboux 方程式は超幾何函数を特殊解に含むことがわかっている。Euler-Poisson-Darboux 方程式のq-類似としては永友清和-古閑義之による方程式が得られていた（１９９５）が、その特殊解として表れるq-幾何函数が標準のものとは違うので、通常のq-超幾何函数を解に持つ別のEuler-Poisson-Darboux 方程式のq-類似を構成した。q-超幾何函数としてはハイネのbasic hypergeometric seriesとその退化が解になることがわかったが、微分の場合の亀高やq-類似の永友-古閑の場合と異なり、対称性が今ひとつ良くないので、今回得たEuler-Poisson-Darboux 方程式のq-類似が本当に良いものかどうかは、まだはっきりしない。本研究は、論文にはしてないが、8月の函数方程式論サマーセミナーと9月の日本数学会で報告して、多くの方からのレビューをいただいた。三澤彰宏-筧三郎による「連立Euler-Poisson-Darboux方程式の対称性」を教えていただいたので、グラスマン多様体の上の方程式として書くことで、変数を増やすことができる（数学会の講演では軽く触れてある）。残念ながら、本来の超越数論の研究には至っていないが、一つの足がかりになると思っている。