複素多様体の研究-Calabi-Yau 3 foldsの素Mirror変換

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3次元の3次超曲面と位相同型な3次元Moishezon多様体がC^3_1正のもとでの分類。特異点を持つ3次超曲面のなかにsmall resolution(すなわち余次元2の例外集合しか持たない特異点解消)を持つものがある。これらをまとめて3次の3次元多様体(cubic 3-fold)と呼ぶ。(1)cubic 3-foldと位相同型であるがcubic 3-foldでないものがあるが全て具体的に記述できる。(2)b_2=1のcubic 3-foldに対しては0【less than or equal】b_3【less than or equal】10,(b_3:even)となる。特に特異点を持たない3次超曲面はb_2=1,b_3=10。(3)b_2=1,2【less than or equal】b_3【less than or equal】10,C^3_1【greater than or equal】1またはb_2=1,b_3=0の条件のもとでcubic 3-foldと位相同型となるMoishezon3-foldはcubic 3-foldまたは(1)の3-foldと同型。cubic-3-folds(1^5理論)のb_2,b_3は次のようになる。b_2 b_31 10,8,6,4,2,02 4,2,03 2,04【less than or equal】b_2【less than or eqCalabi-Yau 3-fold Xをtarget spaceとしたN=2 supersymetric nonlinear sigma modelはmirror変換によってそのMirror partnerYの幾何をも記述する。mirror変換によって同型H^<11>(X)【similar or equal】H^<21>(Y),H^<11>(Y)【similar or equal】H^<21>(X)が引き起こされる。Eguchiらによれば、同一のnonlinear sigma modelはh^<11>(X^1)=h^<11>(X^1)+k,h^<21>(X^1)=h^<21>(X^1)-kとなる中間的なpartnerX^1を持つと予想される。cubi3-foldsで言えば(b_2,b_3)=(1,6)→(2,4)→(3,2)→(4,0)がその中間的partnerを実現していると考えられる。Calabi-Yau 3-foldsでも同様のことがあるが、これを繰り返してMirrorにまで行き着くかはまだ確認されていない。