Degeneration of abelian varieties and compactification of moduli

阿贝尔簇的退化和模的紧化

• 批准号: 22K03261
• 负责人: 中村 郁
• 金额: $ 1.5万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03261/
• 关键词: アーベル多様体; モジュライ; コンパクト化; アーベル多様体の退化; ネロン・モデル; ネロン・モデルのコンパクト化; ボロノイ多面体; fppf層; Kuga-Satakeアーベル多様体

アーベル多様体のモジュライのコンパクト化に関連して、この1年間はネロン・モデルのコンパクト化の研究に取り組んだ。共著論文原稿は一旦完成して投稿したが、付帯条件のため掲載には不十分な成果、との評を得たので、その後の研究で付帯条件は不要となり、ほぼ最終的な改良を得た。剰余体の標数への制限はなくなり、また、モデルの一意性も証明できた。論文は前半と後半の2部に分け、前半部分は完全退化の場合を扱い、後半は部分退化の場合を扱う。前半は共著として完成しており、後半は筆者の単著とし現在執筆中である。完備離散付値環上のアーベル多様体$G_eta$に対してネロン・モデルが一意に定まることはよく知られている。研究期間に著しく進展したのは、このネロン・モデル$\cG$ のコンパクト化である。主要結果は以下のとおりである：$\cG$が半安定ならば、$\cG$のコンパクト化$(P,\cN)$で次の性質(i)-(iii)を持つものがただ一つ存在する：(i) 偏極が3次的 (ii) Cohen-Macaulayスキームで、(iii) $P\setminus\cG$が余次元2。前半部分で、完全退化の場合に退化データを構成し、Mumfordの構成方法を適用してコンパクト化を構成、Voronoi 多面体によってコンパクト化の具体的な記述を与えた。後半部分では、部分退化の場合に退化データを構成し、Mumfordの構成方法を適用する。後半の本質的に重要な部分は完成しているが、証明と構成の細部、および関連する結果の完成にもうしばらく時間を要する。並行して以下を証明し、論文を準備中である：fppf位相で定義された前層は帰納的極限により層とすることができる。fppfでの通常の帰納的極限は集合論的に問題があり、その点を克服した。

ア ー ベ ル more than others in body の モ ジ ュ ラ イ の コ ン パ ク ト change に masato even し て, こ の 1 years は ネ ロ ン · モ デ ル の コ ン パ ク ト change の research group take り に ん だ. Contribute a total of the original paper は once completed し て し た が, pay 帯 condition の た め first white jasmines load に は not very な results, と の review を must た の で, そ の の research で pay 帯 condition after は don't と な り, ほ ぼ eventually な improved を た. The remaining volume <s:1> scale number へ <s:1> limit なくな なくな, また, モデ <s:1> <s:1> monointent <s:1> proof で た た た. The first half of the paper is と and the second half is に divided into け parts. The first half is <s:1> completely degraded in <s:1> situations を handle と, and the second half is <s:1> partially degraded in <s:1> situations を handle う. The first half was co-authored by と, て completed by てお, and the second half was co-authored by 単, と by て currently in writing である. Complete discrete pay nt ring の ア ー ベ ル others body more $G_eta $に し seaborne て ネ ロ ン · モ デ ル が a に decided ま る こ と は よ く know ら れ て い る. Progress during the study period に the し く し た の は, こ の ネ ロ ン · モ デ ル $\ cG $の コ ン パ ク ト change で あ る. Main results under は の と お り で あ る : $\ cG $が half stability な ら ば, $\ cG $の コ ン パ ク ト change $(P \ cN) $で の properties (I) - (iii) を hold つ も の が た だ exist a つ す る : (i) polarized が3 times (ii) Cohen-Macaulayスキ ムで ムで, (iii) $P\setminus\cG$が remainder 2. First half で, completely degraded の に degradation デ ー タ を し, Mumford の を composition method applicable し て コ ン パ ク ト を constitute, Voronoi polyhedra に よ っ て コ ン パ ク of ト の specific account な を and え た. The second half of the part で で, partial degradation of the occasion に degradation デ で タを タを to form a する, the Mumford <s:1> formation method を is applicable to する. After half の essential important part な は に し て い る が, prove と の detail, お よ び masato even す る results の complete に も う し ば ら く time を to す る. Under parallel し て を prove を し, paper prepared で あ る : FPPF phase で definition さ れ た layer before は 帰 of limit に よ り layer と す る こ と が で き る. fppfで で usually 帰 the limit of 帰 set theory に problems があ and そ <s:1> points を overcome た た.