位相的共形場理論の可積分構造

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重力を含む素粒子間の基本的相互作用を統一すると考えられている超弦理論における基本的な問題は、その非摂動論的効果の理解である。弦理論の簡単な模型である二次元重力理論の場合には、構成的な手法によってその非摂動的性質が研究されている。またその性質をうまく記述する場の理論として位相的場の理論が研究されている。現在のところ、二次元重力理論がうまく定義されるのは時空が一次元以下であり、それ以上の場合については良くわかっていなかった。本研究において、連続理論の枠内で二次元重力理論の拡張について考察をすすめ、新しい型の弦理論を構成することを試みた。その結果、以下の様な新しい事実を得た。(1)二次元重力理論を位相的共形理論として理解するため、リウビル重力とミニマル模型が結合している普通の二次元重力理論のBRS対称性を、これを含むN=2超共形対称性としてとらえることが必要になる。我々は、この二次元重力理論の背後に隠れたN=2超共形対称性をアフィン超リー代数sl(2/1)^<(1)>のハミルトニアン縮約を用いて、古典論および量子論の両段階で導き出せることを示した。これは、古典論的には新しい(Modified KdV)型のN=2超可積分系の存在を意味する。また以前の本研究者のN=2ミニマル模型のハミルトニアン縮約による導出を合わせると、二次元重力理論とN=2ミニマル模型が本質的に同じ理論であることが結論される。(2)上記の手法は、アフィン超リー代数という強力な対称性を用いるので一般化が容易である。実際、アフィン超リー代数sl(3/2)^<(1)>について同様のハミルトニアン縮約を用いると、これから導かれる模型は、リウビル重力を高階スピン場により拡張したW_3重力とW_3ミニマル模型が結合した新しい重力理論になっていることが示された。この重力理論は時空が二次元以下でうまく定義されており、通常の二次元重力の非自明な拡張になっている。