トーリック多様体の微分幾何学的研究

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トーリックFano多様体上にいつEinstei-Kahler計量が存在するかという問題について研究した.この問題に対する障害として松島障害と二木指標の二つが知られている.トーリックFano多様体を考えることの利点は,凸多面体が一対一に対応していて,その凸多面体によりトーリックFano多様体の幾何学的性質が解るということにある.また,Einstein-Kahler計量の一般化の概念として端的Kahler計量がCalabiにより定義された.この端的Kahler計量にも二木指標が関係することが,一般化されたKilling形式を用いて二木・満渕により示された.端的Kahler計量の存在に対する障害としては,松島障害の一般化にあたるCalabiによる正則自己同型群の構造定理がある.よってトーリックFano多様体の正則自己同型群がこのCalabiの構造定理を満すかという問題も考えられる.また,これらの問題は商特異点を許す多様体である軌道体にまで一般化することができる.これらの問題を考えるために,まずトーリックFano軌道体上の二木指標と一般化されたKilling形式を,対応する凸体のデータで記述する,組み合せ論的公式を構成した.この公式により高次元の場合でも比較的簡単に二木指標や一般化されたKilling形式を求められる様になった.この組み合せ論的公式を用いて,二次元トーリックFano軌道体と三,四次元非特異トーリックFano多様体の二木指標と一般化されたKilling形式を具体的に計算した.その結果,これらの多様体,または軌道体の正則自己同型群に対して,Calabiの構造定理が成り立つことがわかった.