Einstein及び定スカラー曲率Kahler計量と代数多様体の安定性との関係

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昨年度までの研究に引続き、射影的代数多様体の幾何学的不変式論の意味における安定性と定スカラー曲率Kahler計量の存在とが同値になるという予想、いわゆる「偏極代数多様体に対する小林・Hitchin対応」を中心に研究した。この予想をFano多様体と呼ばれる、反標準直線束が豊富な射影的代数多様体の場合に考えると、安定性とEinstein・Kahler計量の存在の同値性の問題となる。この観点から、TianはFano多様体に対してK安定性とCM安定性という二種類の安定性を導入し、Fano多様体がEinstein・Kahler計量を持つとき、K安定にもCM安定にもなるということを示した。一方、Einstein・Kahler計量の存在に対しては、二木指標と呼ばれる正則自己同型群の指標が障害となることが知られている。また、この二木指標は定スカラー曲率Kahler計量の存在に対する障害として、坂東・Calabi・二木指標と呼ばれる、一般の射影的代数多様体の正則自己同型群の指標へと一般化されている。この二木指標や坂東・Calabi・二木指標は、射影的代数多様体の半安定性に対する障害にもなっていることが、昨年度までの研究によりわかっている。今年度の研究では、特にTianにより導入された二種類のFano多様体に対する安定性(K安定性とCM安定性)の関係について詳しく考察した。その結果、K安定性やCM安定性の定義を少し適当に変更してやることにより、ある仮定の下でこの二つの安定性は同値な条件であることがわかった。