トーリックFano多様体上のEinstein-Kahler計量

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Kahler多様体上にいつEinstei-Kahler計量が存在するかという問題がCalabiにより提出された.この問題は第一Chern類が零又は負の時AubinとYauにより解かれた.一方,第一Chern類が正の複素多様体はFano多様体と呼ばれるが,この時は存在することに対する障害として松島障害と二木不変量の二つが知られていて,存在に対してはTian・Sin・Nadelなどによる部分的な解答しか知られていない.現在のところこの問題を解くには群の作用による対称性を利用する方法が非常に重要となっている.例えば,等質空間のときには必ず存在することが知られている.そこで我々はその次に対称性の高い概等質空間を考えることにする.なかでも次元分の代数的トーラスが作用しているトーリックFano多様体と呼ばれる概等質空間上でこの問題を考えることにする.トーリックFano多様体を考えることの利点は,トーリックFano多様体には凸多面体が一対一に対応していてその凸多面体を調べることによりもとのトーリックFano多様体の幾何学的性質が解るということにある.例えば,松島障害は対応する凸多面体が対称であるかということに対応し,二木不変量は対応する凸多面体の重心に対応している.また,Einstein-Kahler計量の一般化である端的Kahler計量の存在に対する障害としてはCalabiによる正則自己同型群の構造定理があるが,トーリックFano多様体の正則自己同型群も対応する凸多面体により調べることができる.本年度は商特異点を許す多様体である軌道体についてもこれらの計量の存在問題を考えた.その結果,反標準因子が豊富なCartier因子になる二次元トーリック軌道体はCalabaiの構造定理を満すことが解り,三次元ま非特異なトーリックFano多様体もまたCalabiの構造定理を満すことが解った.