非線型拡散方程式における特異極限と界面現象の研究

非线性扩散方程中奇异极限和界面现象的研究

• 批准号: 13740119
• 负责人: 中島 主恵
• 金额: $ 1.15万
• 依托单位: 東京水産大学
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2000
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2000 至 2001
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13740119/
• 关键词: 非線型拡散系; 特異摂動問題; 特異極限; 遷移層; 界面方程式; 非線型現象; 反応拡散方程式

非線型反応拡散方程式系において,拡散係数を非常に小さくすると,"内部遷移層"をもつ解が現れる.内部遷移層とは,空間内のある曲面を境に,解の値がほとんど不連続にみえるほど急激に変化している部分のことである.拡散係数を0に近づけた特異極限下では,この内部遷移層は厚さが0の曲面"界面"に収束し,もとの非線型拡散方程式系に対する解析はこの界面の挙動を記述する方程式の解析に帰着される.本年度は数理生態学に現れる競争系とよばれる連立系について研究を進めた.この方程式系は同じ領域内で相争って生息する2種の生物の個体数密度を記述したものである.2種の生物の競争が比較的激しい場合には,競争系はいわゆる双安定型のシステムになる.本研究では競争系の界面方程式を導出し,解が形成した遷移層の動きが導出された界面方程式に支配されることを数学的に厳密に証明することができた.特異極限における界面方程式を厳密に導出する作業は,通例,優解劣解を構成する手法を用いる.本研究もその手法に従っている.ただ,この方法の難点は優解と劣解の間隔が拡散係数を0に近づけると共に急速に狭くなっていき,そのため優解劣解ではさまれる初期値のクラスが非常に制限されてしまう点にある.本研究では,非常に広いクラスの初期値から出発した解が,きわめて短時間の間に遷移層を形成することを証明し(generation of interface),その結果,解が優解劣解に挟まれる狭い領域に入ることを示すことで上記の困難を克服する.この成果について2002年7月に研究集会「界面ダイナミクスを再現する数値解析法の開発と実験分野への応用についてII」において,また2003年3月に日本数学会年会において発表した.

Linear inverse 応 company, dispersion equation is に お い て, を company, dispersion coefficient is very small に さ く す る と, "internal migration layer" を も つ solution が now れ る. Internal migration layer と は, space の あ る surface を に, の numerical solution が ほ と ん ど not even 続 に み え る ほ ど nasty shock に variations change し て い る part の こ と で あ る. Company, dispersion coefficient を 0 に nearly づ け た specific limit で は, こ の internal migration は thick さ が 0 の surface "interface" に 収 し, も と の scattered equations of linear company department に す seaborne る parsing は こ の interface の 挙 dynamic を account す る equation is の parsing に 帰 the さ れ る. This year は mathematical ecology に now れ る competition system と よ ば れ る particsun department に つ い を て research into め た. こ equation is の は contend with で じ field っ て interest-bearing す る two の biological の individual account number density を し た も の で あ る. 2 kinds of biological が の competition is の excitation し い occasions に は, competition is は い わ ゆ る ShuangAn stereotypes の シ ス テ ム に な る. This study で は competition is の interface equation derived を し, が formation し た migration layer の dynamic き が export さ れ た interface equation に dominate さ れ る こ と を mathematical に 厳 dense に prove す る こ と が で き た. The special limit における interface equation を厳 the secret に derivation する operation <e:1>, the general rule, the superior solution and the inferior solution を the する method を uses における る. This study も そ の gimmick に 従 っ て い る. た だ, こ の way の optimal solution to the difficulty は と pareto solutions の interval が を company, dispersion coefficient 0 に nearly づ け る と altogether に に sharply narrow く な っ て い き, そ の た め optimal pareto solutions で は さ ま れ る early numerical の ク ラ ス が very limitations に さ れ て し ま う point に あ る. This study で は, very に hiroo い ク ラ ス の early numerical か ら out 発 し た が, き わ め て を に migration layer formed between short time の す る こ と を prove し (generation of Interface), そ の results, solution が optimal pareto solutions に carry ま れ る に into the narrow い field る こ と を shown す こ と で written の difficulties を overcome す る. こ の results に つ い て in July 2002 に research rally "interface ダ イ ナ ミ ク ス を reappearance す る the numerical analytical method の open 発 と be 験 eset へ の 応 with に つ い て II に お い て, ま た 20 In March 2003, the annual meeting of the Japanese mathematical society was held at に, にお, て, and a presentation was made at た.

项目成果

K.Nakashima, K.Tanaka: "Clustering layers and boundary layers in spatially inhomogeneous phase transition problem"Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire. 20,1. 107-143 (2003)

K.Nakashima、K.Tanaka：“空间非均匀相变问题中的聚类层和边界层”Ann。

中島 主恵: "双安定型方程式の定常問題に現れる密集した遷移層とスパイク"京都大学数理解析研究所講究録. 1197. 95-107 (2001)

Chie Nakajima：“双稳态方程稳态问题中出现的密集过渡层和尖峰”京都大学数学科学研究所 Kokyuroku 1197. 95-107 (2001)。

K.Nakashima: "Multi-layered stationary solutions for spatially inhomogeneous Allen-Cahn equation"Journal of Differential Equations. (掲載予定).

K. Nakashima：“空间非齐次 Allen-Cahn 方程的多层平稳解”《微分方程杂志》（待出版）。

Kimie Nakashima, Kazunaga Tanaka: "Clustering layers and boundary layers in spatially in homogeneous phased transition problems"Ann. Inst. H. Poiucave Anal. Nonline aire. (掲載予定).

Kimie Nakashima，Kazunaga Tanaka：“均匀相变问题中的空间聚类层和边界层”Ann。H. Poiucave Anal。

Kimie Nakashima: "Multi-layered stationary solutions for a spatially in homogeneous Allen-Cahn equation"Nonlinear Analysis. 47. 825-836 (2001)

Kimie Nakashima：“空间齐次 Allen-Cahn 方程的多层平稳解”非线性分析。