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非線型拡散方程式系に現れる遷移層のダイナミクスの研究

非线性扩散方程系统中过渡层的动力学研究

基本信息

批准号：
16740090
负责人：
中島主恵
金额：
$ 2.24万
依托单位：
Tokyo University of Marine Science and Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2004
资助国家：
日本
起止时间：
2004 至 2006
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は球対称な遷移層をもつ解の安定性と非球対称解の構成について研究を進めた.場所によってポテンシャルの型が異なる双安定型の方程式を球の上で考える.空間1次元の場合この方程式はAi-Chen-Hastings(1996),浦野一申請者一山田(1996)により扱われ,一箇所に折り重なった遷移層を持つ解の存在が示された.またこれらの解のモース指数は,遷移層やスパイクの数と位置により完全に決定されることが示されている.一方,空間多次元の場合にはDancer-Yan(1994)が折り重なった遷移層をもっ球対称解の存在を示し,遷移層の数や配置のしかたを調べているが,安定性については触れていない.空間次元1次元の解と空間多次元の球対称解を比べると,遷移層の配置のしかたや現れうる遷移層の数などの形状に関する性質については全く同様であることがわかる.これにたいし1次元の解の安定性とと多次元の球対称解の安定性は全く異なる.1次元の場合のモース指数は解のもつ遷移層の数と配置により決定される.一方多次元の場合,解のモース指数は拡散係数Dを微小とするとともに限りなく大きくなる.以上の現象を数学的に厳密に証明した.最近Du-申請者により次のような結果がえられた.定理1.球対称解のモース指数は0(すなわち安定である)か,Dの-N/2乗のオーダーのどちらかになる.とくに折り重なった遷移層をもつ球対称解のモース指数はDの-N/2乗のオーダーである.定常解のモース指数は直観的な表現をあえて用いれば次のようなものである.不安定定常解にある摂動をくわえると,解はその定常解の近くにとどまらず離れていってしまうことがあるはずである.その不安定な方向への摂動の加え方が(定数倍を除き)何種類あるかを示すのがモース指数である.すなわちモース指数は不安定解の崩れ方のバリエーションをはかる指数ともいえる.このように考えれば空間次元が大きくなるとともに定常解の崩れ方も多様になり,モース指数は定理の主張のオーダーで増大することも比較的自然に思われる.さらに非球対称解について次の結果が得られた.定理2.拡散係数を徐々に小さくすると、次々に球対称解から非球対称解が分岐する。

This year, the study of the stability of spherical symmetric migration layer and the composition of non-spherical symmetric solution has been carried out. A study on the equation of double safety type in the sphere. The Space 1-Dimensional Equation Ai-Chen-Hastings(1996), Urano Ichiyamada (1996). The number and position of migration layers are completely determined by the number and position of migration layers. Dancer-Yan(1994) shows the existence of a spherical symmetric solution, the number of migration layers and the configuration of migration layers, and the stability of the system. Space dimension 1 dimensional solution and space multiple element spherical symmetry solution are compared, the configuration of migration layer is changed, the number of migration layer is changed, the shape of migration layer is changed, the properties of migration layer are changed, and all the similarities are changed. The stability of the solution in the first dimension and the stability of the solution in the spherical symmetry of multiple elements are completely different. The number of migration layers of the solution in the case of the exponential in the first dimension and the configuration are determined. In the case of one-dimensional multiple elements, the exponent of the solution is small and the dispersion coefficient D is small. The above phenomena are proved mathematically. Most recent Du-applicant. Theorem 1. The exponent of spherical symmetry solution is 0(),D is-N/2 The index of the solution is D and-N/2. The steady state solution is exponential and the behavior of the steady state solution is linear. Unstable steady state solution The direction of instability is determined by the number of times the direction of instability is determined by the index of instability. The index of instability is the index of instability. This paper discusses the spatial dimension and the steady state solution, and compares the natural solution of the exponential theorem. The result of this non-spherical solution is that it is impossible to solve the problem. Theorem 2. The dispersion coefficient is small and the spherical symmetry solution is divergent.