非線型拡散方程式系に現れる遷移層のダイナミクスの研究

非线性扩散方程系统中过渡层的动力学研究

• 批准号: 16740090
• 负责人: 中島 主恵
• 金额: $ 2.24万
• 依托单位: Tokyo University of Marine Science and Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2004
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2004 至 2006
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-16740090/
• 关键词: 非線型拡散方程式系; 特異極限; 遷移層; 界面(interface); clustering layer; boundary layer; generation of interface; motion of interface; 界面; 界面方程式; 自由境界問題; モース指数; 双安定型方程式系

本年度は球対称な遷移層をもつ解の安定性と非球対称解の構成について研究を進めた.場所によってポテンシャルの型が異なる双安定型の方程式を球の上で考える.空間1次元の場合この方程式はAi-Chen-Hastings(1996),浦野一申請者一山田(1996)により扱われ,一箇所に折り重なった遷移層を持つ解の存在が示された.またこれらの解のモース指数は,遷移層やスパイクの数と位置により完全に決定されることが示されている.一方,空間多次元の場合にはDancer-Yan(1994)が折り重なった遷移層をもっ球対称解の存在を示し,遷移層の数や配置のしかたを調べているが,安定性については触れていない.空間次元1次元の解と空間多次元の球対称解を比べると,遷移層の配置のしかたや現れうる遷移層の数などの形状に関する性質については全く同様であることがわかる.これにたいし1次元の解の安定性とと多次元の球対称解の安定性は全く異なる.1次元の場合のモース指数は解のもつ遷移層の数と配置により決定される.一方多次元の場合,解のモース指数は拡散係数Dを微小とするとともに限りなく大きくなる.以上の現象を数学的に厳密に証明した.最近Du-申請者により次のような結果がえられた.定理1.球対称解のモース指数は0(すなわち安定である)か,Dの-N/2乗のオーダーのどちらかになる.とくに折り重なった遷移層をもつ球対称解のモース指数はDの-N/2乗のオーダーである.定常解のモース指数は直観的な表現をあえて用いれば次のようなものである.不安定定常解にある摂動をくわえると,解はその定常解の近くにとどまらず離れていってしまうことがあるはずである.その不安定な方向への摂動の加え方が(定数倍を除き)何種類あるかを示すのがモース指数である.すなわちモース指数は不安定解の崩れ方のバリエーションをはかる指数ともいえる.このように考えれば空間次元が大きくなるとともに定常解の崩れ方も多様になり,モース指数は定理の主張のオーダーで増大することも比較的自然に思われる.さらに非球対称解について次の結果が得られた.定理2.拡散係数を徐々に小さくすると、次々に球対称解から非球対称解が分岐する。

This year, the research on the <s:1> spherical symmetrical な migration layer を を <s:1> solution <s:1> stability と non-spherical symmetrical solution <e:1> composition に に て て て has made progress in めた. The field によってポテ シャ シャ シャ <s:1> type が different なる double safety type <s:1> equation を sphere <s:1> で examination える. Space 1 yuan の occasions こ の equation は Ai - Chen - Hastings (1996), urano mountain tian (1996) the applicants に よ り Cha わ れ, に fold り by a heavy な っ た migration layer の つ solution existence を が shown さ れ た. ま た こ れ ら の solution の モ ー は ス index, migration layer や ス パ イ ク number の と position に よ り に completely Let される る とが show されて る る. One party, the space multidimensional の occasions に は Dancer - Yan (1994) が fold り heavy な っ た migration layer を も っ ball says existence を の し, seaborne migration layer の や configure の し か た を adjustable べ て い る が, stability に つ い て は touch れ て い な い. Space と RMB 1 yuan の solution space multidimensional の を ball said seaborne solution than べ る と, migration layer の configuration の し か た や now れ う る migration layer number の な ど の shape に masato す る nature に つ い て は full く with others で あ る こ と が わ か る. こ れ に た い し の 1 yuan の solution stability と と multidimensional の の stability ball said seaborne solution は く all different な る. 1 yuan の occasions の モ The number of migration layers <e:1> is と and the configuration is によ and によ determine される. In the case of a multiple <s:1>, the solution of <s:1> モ ス ス exponent 拡 拡 dispersion coefficient Dを is very small とするとと に に limit <s:1> なく is very large くなる くなる. The に厳 secret に proof of the above を phenomenon in mathematics is た た. The most recent ような ような result がえられた of the Du- applicant によ に. Theorem 1. Ball said solution seaborne の モ ー は ス index 0 (す な わ ち settle で あ る) か, D の - N / 2 乗 の オ ー ダ ー の ど ち ら か に な る. と く に fold り heavy な っ た migration layer を も つ ball said solution seaborne の モ ー ス index は の - N / 2 D 乗 の オ ー ダ ー で あ る. The な performance of a steady solution is expressed in をあえて モ ス ス, and the な of an exponent 観 is expressed in をあえて れば order, <s:1> ような, <s:1>, である, である, and である. Unrest stationary solution に あ る, dynamic を く わ え る と, solution は そ の の nearly stationary solution く に と ど ま ら ず from れ て い っ て し ま う こ と が あ る は ず で あ る. そ の unrest な direction へ の, dynamic の plus え party が (number of times を except き) what class あ る か を shown す の が モ ー ス index で あ る. す な わ ち モ ー ス の collapse index は unrest solution れ party の バ リ エ ー シ ョ ン を は か る index と も い え る. こ の よ う に exam え れ ば space dimensional が big き く な る と と も に の れ party も alert others more steady solution に な り, モ ー ス index の は theorem advocates の オ ー ダ ー で raised large す る こ と も more natural に think わ れ る. さ ら に the ball said solution seaborne に つ い て times の results ら が れ た. Theorem 2. Youdaoplaceholder0 dispersion coefficient を xu 々に xiao さくすると, order 々に spherical logarithmic solution ら non-spherical logarithmic solution が bifurcation する.

项目成果

Transition layers and spikes for a reaction-diffusion equation with bistable nonlinearity

具有双稳态非线性的反应扩散方程的过渡层和尖峰

• 发表时间: 2005
• 期刊: Dynamical Systems and Differential Equations
• 作者: 浦野道雄;中島主恵;山田義雄
• 通讯作者: 山田義雄

Generation and propagation of interface to a Lotka-Volterra competition diffusion system with a large interaction rate

具有大交互率的 Lotka-Volterra 竞争扩散系统界面的生成和传播

• 发表时间: 2006
• 期刊: 数理研講究録 1416
• 作者: Sachiko Atsushiba;Wataru Takahashi;Sachiko Atsushiba;Sachiko Atsushiba;K.Nakashima
• 通讯作者: K.Nakashima

Transition layers and spikes for a bistable reaction-diffusion equation.

双稳态反应扩散方程的过渡层和尖峰。

• 发表时间: 2005
• 期刊: Advances in Mathematical Sciences and Applications 15巻2号
• 作者: 浦野道雄;中島主恵;山田義雄
• 通讯作者: 山田義雄

Singular limit of a spatially inhomogeneous Lotka-Volterra competition diffusion system

空间非均匀Lotka-Volterra竞争扩散系统的奇异极限

• 发表时间: 2007
• 期刊: Comm. Partial Diff. Equations 32
• 作者: H.Hilhorst;他
• 通讯作者: 他

Clustering layers and boundary layers in spatially inhomogeneous phase transition problems

• DOI: 10.1016/s0294-1449(02)00008-2
• 发表时间: 2003
• 期刊: Annales De L Institut Henri Poincare-analyse Non Lineaire
• 影响因子: 1.9
• 作者: K. Nakashima;Kazunaga Tanaka