On some nonlinear reaction diffusion equation arising in population genetics

群体遗传学中一些非线性反应扩散方程的探讨

基本信息

批准号：
22K03369
负责人：
中島主恵
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Tokyo University of Marine Science and Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2027-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03369/
关键词：
反応拡散方程式特異摂動問題遺伝子頻度遷移層反応拡散系

项目摘要

研究論文Bifurcation structure of an indefinite nonlinear diffusion problem in population geneticsではここ数年に引き続き上記の遺伝子頻度モデルを扱う．昨年度までの研究では求める解が遺伝子頻度であるため0から1までの解が興味の対象であった．しかし研究を進めるにしたがって0と1の間の定常解の全体像を明らかにするためには自明定常解 $u=1$からの非定数定常解の分岐構造を調べることが可欠になることに気づいた．u=1 からの分岐問題の重要性はFeltrin-Sovrano，Izuharaなどの数値実験の結果などからも裏付けられる．このような生物学的な意義に加え，数学的な意義は次のようである．非線形項が符号を変えるようなロジスティックタイプの方程式の正値定常解の分岐構造を研究は1970年代から国内外でさかんに行われてきた．非線形項が符号を変えない場合には,数えきれないほどの先行研究があるが，非線形項が符号を変える場合には変えない場合に比べて国内外でも研究が始まったばかりと言ってよく，その解の挙動は数学的にも複雑で興味深い．同論文では以下のことを証明した．定常解 u が n 回 1を横切るとき，モードnの解と呼ぶことにする．拡散係数を小さくしていくと定数定常解 $u=1$ からモード1の解，モード2の解・・・が順に分岐することが示される．この分岐の枝の解はモードを変えず，大域的に存在する．モード $n$ の解 $u$ は(境界を含めると）n+2個の極点を持ち，uが1を横切る点と極点は交互に現れる．さらに拡散係数が十分小さいときには，uが１を横切る点（u-1の零点）は境界点，あるいは非線形項が符号を変える点の付近のみに現れることが証明され，モードnの解の詳細な形状が明らかになった．

研究论文是人口遗传学中不确定非线性扩散问题的分叉结构，在过去几年中继续处理上述基因频率模型。在研究到去年之前，解决方案是基因频率，因此从0到1的解决方案引起了人们的关注。但是，随着我们进行研究的进行，我们意识到，有必要研究从明显的稳定解决方案$ u = 1 $的非典型稳定解决方案的分支结构，以阐明0和1之间的稳态解决方案的整体图表。u = 1的分支问题的重要性也可以得到数值实验的结果，例如feltrin-sovratrin-sovrano and iiuuhano and iiuuhana和iiuuhana。除了这种生物学意义外，数学意义还如下：对逻辑型方程的正增值稳定解决方案的分支结构的研究，在该方程中，非线性术语更改该符号自1970年代以来一直在区域和国际上经常进行。当非线性术语没有改变其符号时，已经进行了无数的研究，但是可以说，与非线性术语没有改变其符号的情况相比，研究才刚刚开始在国内和国际上开始，而解决方案的行为在数学上是复杂且有趣的。该论文证明了以下内容：当稳态解决方案U穿越n次1时，我们将其称为模式n的解决方案。通过降低扩散系数，可以表明常数解决方案$ u = 1 $将从模式1和模式2的解决方案中分支出来。该分支的解决方案不会更改模式并在全球上存在。模式$ n $ $ u $（包括边界）的解决方案具有n+2杆，其中u越过1且电线杆交替出现。此外，当扩散系数足够小时，证明了u穿越1（u-1的零点）的点仅出现在边界点或非线性术语更改符号的点上，从而揭示了模式n的解决方案的详细形状。