Große Abweichungen und extremale Ereignisse für stochastische Prozesse in zufälligen Umgebungen

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Als Modell für die Bewegung eines Teilchens in einem zufälligen Medium betrachtet man eine Irrfahrt auf einem Graphen, zum Beispiel dem d-dimensionalen Gitter, deren Übergangswahrscheinlichkeiten durch die Realisierung eines Zufallsfeldes gegeben sind. Dieses Zufallsfeld heißt "Umgebung" oder "Medium". Der am besten untersuchte Fall ist die Irrfahrt auf dem 1-dimensionalen Gitter mit unabhängigen und identisch verteilten Übergangswahrscheinlichkeiten. Fragen nach Rekurrenz oder Transienz, der Geschwindigkeit, der Konvergenz der Verteilungen sind in diesem eindimensionalen Fall gelöst. In einigen neueren Arbeiten wurden auch große Abweichungen von der Geschwindigkeit untersucht. Dabei zeigte sich, daß "extremale Ereignisse" in der Umgebung die Fluktuationen der Irrfahrt wesentlich beeinflussen. Für die Irrfahrt in zufälliger Umgebung auf dem mehrdimensionalen Gitter gibt es einige neuere Resultate, aber grundlegende Fragen sind noch offen. Es ist sicher eine der wesentlichen Herausforderungen, ein Verständnis der mehrdimensionalen Situation zu gewinnen.Statt eines d-dimensionalen Gitters kann man einen Graphen mit Baumstruktur betrachten. Dazu gibt es mehrere Arbeiten von Lyons, Pemantle und Peres, die Zusammenhänge zwischen Rekurrenz/Transienz der Irrfahrt und zu "sich verzweigenden Irrfahrten" (branching random walks), Perkolation auf dem Graphen und der Hausdorffdimension des "Randes" aufgezeigt haben. Schließlich kann man, anstatt die Übergangswahrscheinlichkeiten zufällig zu wählen, eine "klassische" Irrfahrt (die zu allen Nachbarn mit jeweils derselben Wahrscheinlichkeit springt) auf einem zufälligen Graphen, zum Beispiel der Realisierung eines Galton-Watson-Baumes, betrachten. In diesem Fall wurde die harmonische Analysis, zum Bespiel das Austrittsmaß der Irrfahrt auf dem "Rand" des Baumes, bereits eingehend untersucht, aber man weiß nicht viel über die Fluktuationen der Irrfahrt.