作用素環の分類と指数理論

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表題の指数理論は、Jones によって1983年に、【(II)_1】-型因子環の部分因子環を分類する為に導入された。指数は、部分因子環の共役類に対して、始めて定義された不変量であり、指数がこのものの共役類は唯一である事は、Jones によって示された。当該年度に於て、研究代表者は、指数として、他の値を取る部分因子環の共役類を求める事、及び因子環の性質の指数に与える違いを求める事を目的とし、以下の様な結果を得た。指数が4以上の部分因子環の中には、相対可換子環が非自明なものが存在する。非自明な相対可換子環を考虜する事により、指数4以上の部分因子環の共役類が無限個存在する事を示した。相対可換子環の次元は常に有限であるが、特に相対可換子環の次元と指数が等しくて整数の二乗であるものの共役類は唯一である事と、その中間子環の共役類を全て決定した。指数が4のときには、因子環の性質により、異なった結果が生じる。超有限【(II)_1】型因子環の場合には、共役類は、N×T(Nは自然数全体、Tは一次元トーラス)と一対一に対応がつき従って非可算無限個存在するが、対極に位置する性質Tを持つ因子環の場合には、共役類は可算無限個だけ存在する事を得た。以上の結果はMathematica Japonicaに掲載される予定である。次に、Powers は、超有限【(II)_1】型因子環から部分因子環への*同型写像で、巾の値域の共通部分が自明なものをshiftと呼ぶ、部分因子環の指数でshiftの指数を定義し、指数が2のshiftの共役類の連続個の存在と、外部共役類の可算無限個の存在を示した。それに対し任意の自然数を指数としてもつshiftを構成する事により、Powersの結果がすべての自然数に対して、拡張可能な事を示した。更に、指数が4【Cos^(2π)】/n(n=3,4)のshiftを構成し、それ等の可算無限個の外部共役類を与えた。これ等はJournalof operater algebrbsに掲載予定である。