Harmonische Analysis und Zetafunktionen

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In diesem Teilprojekt soll die harmonische Analysis auf lokal-symmetrischen Räumen negativer Krümmung und die Theorie der Selbergschen Zetafunktionen weiter entwickelt werden. Die wesentlichen Etappen sind hierbei das Plancherel-Theorem, die Spurformel, die meromorphe Fortsetzung der Zetafunktion und die Beschreibung ihrer Singularitäten. Im Zusammenhang mit dem Plancherel-Theorem soll eine geometrische Streutheorie (Eisensteinreihen, Streumatrix, Invariante Erweiterung und Einschränkung von Distributionen) entwickelt werden. Diese Streutheorie soll auf die Klassifikation der spektral relevanten Distributionsvektoren unitärer Darstellungen (z.B. invariante Distributionen auf dem geodätischen Rand der betreffenden symmetrischen Räume mit Träger in der Limesmenge und vorgegebenen "konformen Gewicht") durchgeführt werden. Die Selbergsche Zetafunktion ergibt sich aus dem hyperbolischen Beitrag einer Spurformel. Für nichtkompakte lokal-symmetrische Räume tritt im allgemeinen kontinuierliches Spektrum auf, weshalb die anderen Beiträge der Spurformel geeignet zusammengefaßt oder regularisiert werden müssen. Insbesondere ist hierbei der Beitrag der Streumatrix herauszuarbeiten. Aus der Spurformel soll sich dann eine spektrale Beschreibung der Singularitäten der Selbergschen Zetafunktion ergeben, d.h. eine Beschreibung durch Resonanzen (hier Singularitäten der Streumatrix) und Eigenwerte geeigneter Operatoren auf dem lokal-symmetrischen Raum. Neben der spektralen Beschreibung der Singularitäten soll eine gruppenkohomologische gefunden werden, welche möglichst durch die Dynamik des geodätischen Flusses ausgedrückt werden kann und damit einen Vergleich mit den Teilprojekten 2 und 3 zuläßt.