構成的数学における位相空間論に関する研究

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Bishopの距離空間とformal topologyは構成的数学における主要な空間概念であり、両者の関係の解明は構成的位相空間論の重要な課題である。本研究の目的は、位相空間論において最も重要な概念であるコンパクト性について、Bishopの距離空間におけるコンパクト性と両立するようなformal topologyの概念を特徴付け、そのように特徴付けられたformal topologyのクラスが良い性質を持つことを示すことである。本年度の主な結果は以下の２つである。第一に、Bishopの局所コンパクト距離空間をformal topologyにより特徴付けた。その特徴付けは、よく知られた空間である局所コンパクト正則formal topologyの定義に加算条件を加えることにより得られる単純なものであり、Bishopの距離空間の理論とformal topologyの理論の親和性を示すものである。本結果により、局所コンパクト距離空間の一般論をformal topologyで扱うことが可能となった。また、本研究では、得られた特徴付けの応用として、Bishopの距離空間の理論において最も重要な定理の一つである「一点コンパクト化定理」をformal topologyにおいて証明した。第二に、Palmgren(2007)による局所コンパクト距離空間のformal topologyへの埋め込みを、疑距離の族により定義される一様空間へと拡張した。さらに、前年度に得られた開被覆族により定義されるコンパクト一様空間のformal topologyへの埋込みが、疑距離の族により定義されるコンパクト一様空間の埋込みの拡張となっていることを示した。これにより、前年度の結果がPalmgrenの結果の拡張であることも同時に示された。