ア-ベル多様体のツェ-タ関数

一次元アベ-ル多様体である楕円曲線Eのツェ-タ関数の同所係数a_pは、Eの等分体の整数論理的性質を表出しているが、これにつき次のような論理的、実験的結果を得た。1.古典的な円分体に於ける理論の等分体における類似物を追及することは1つの指導的原理である。すでにH.lto:An Elliptic Fermat Test(Memo.Coll.Ed.Akita Univ.40(1989)において、若干の結果を得ているが、さらに Pomerance,Selfridge,Wagstaff(1980)の命題3に対応して、(a,p)できまる楕円的擬素数Lをわる素数qにつきL〓q mod qA(Aは(a,p)できまるq文体でのpの次数)が成り立つことがわかった。2.ある意味で1.とは対照的であるが、等分体においては円分体と著しく異なる状況があることを発見した。すなわち伝統的にはメルセンヌ数Mnで素数なるものを見つけることが課題であるが、これは即いわゆる擬素数になっている。ところが、Mnの等分体における類似物Lnにおいては、それは擬素数とは限らない。より強く「Ln=擬素数ならば Ln=素数」となることを、p=2、n≦2063で電子計算機をもちいて確認した。これが一般的に成立するかどうか、実験的検証をふやすとともに論理的解明を今後目ざしたい。

一次元アベ-ル多様体である楕円曲線Eのツェ-タ関数の同所係数a_pは、Eの等分体の整数論理的性質を表出しているが、これにつき次のような論理的、実験的結果を得た。1.古典的な円分体に於ける理論の等分体における類似物を追及することは1つの指導的原理である。すでにH.lto:An Elliptic Fermat Test(Memo.Coll.Ed.Akita Univ.40(1989)において、若干の結果を得ているが、さらに Pomerance,Selfridge,Wagstaff(1980)の命題3に対応して、(a,p)できまる楕円的擬素数Lをわる素数qにつきL〓q mod qA(Aは(a,p)できまるq文体でのpの次数)が成り立つことがわかった。2.ある意味で1.とは対照的であるが、等分体においては円分体と著しく異なる状況があることを発見した。すなわち伝統的にはメルセンヌ数Mnで素数なるものを見つけることが課題であるが、これは即いわゆる擬素数になっている。ところが、Mnの等分体における類似物Lnにおいては、それは擬素数とは限らない。より強く「Ln=擬素数ならば Ln=素数」となることを、p=2、n≦2063で電子計算機をもちいて確認した。これが一般的に成立するかどうか、実験的検証をふやすとともに論理的解明を今後目ざしたい。