関数方程式に対する自己検証的数値計算法

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本年度は特に偏微分方程式の解の存在、一意性および存在範囲の特定を計算機によって数値的に検証する方法として、非線形楕円型境界値問題と放物型初期値境界値問題を対象に検討した。これまでの研究成果をもとに、検証可能な方程式の範囲の拡大を図り、得られた検証法を、実際に物理学や生物数学上に登場する具体的方程式に対し適用することにより、その有効性を評価すると共に、手法の改良を行った。研究内容と成果は以下の通りである。1.非線形楕円型境界値問題の検証を行う場合、従来のL^2理論に基く方法では高々多項式オ-ダ-の非線形性にしか対応できなかったが、非線形項のTaylor展開を考えることによりこれを克服できることがわかった。例えば指数関数的な非線形性を持つ方程式の検討にもL^2理論で対応できることを明らかにし、具体的適用例として方程式:-Δu=λe^uの解の検証を行った。2.生物数学に現れる反応拡散系の定常問題を記述する非線形楕円型方程式:-Δu=λu(1ーu)(uーa)を対象として解の検証を試み、検証方式の実用性の評価を行った。その過程において従来方式の問題点が明らかにされ、その点を改良することにより効率良い検証アルゴリズムが得られ、有効性が高められた。3.非線形発展方程式に対する検証法について検討した。先ず準線形放物形方程式に対する初期値境界値問題の解をコンパクト作用素の不動点として定式化し、RoundingとRounding・errorの概念に基づく検証条件を明らかにし、具体的な近似空間を設定して検証手順と検証例とを与えた。4.非線形常微分方程式の2点境界値問題に対しても、より効率の良い検証法を開発した。