無限次元の問題に対する数値計算法

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本年度は無限次元空間の問題に対する数値計算の品質保証として、主に関数方程式の解の存在を計算機により数値的に立証する手法について検討した。これまでの研究成果をもとに、検証可能な問題の範囲の拡大を図ると共に、現実に数理科学上に現れる方程式に対して適用することにより、その有効性を評価した。具体的な研究内容と成果は次の通りである。1)線型楕円型境界値問題に対し解の数値的検証を行う場合、与えられた方程式を不動点定式化するが、この時の作用素のスペクトル半径が大きいと従来の方式では検証が不可能であった。今回、Newton法的な考えを用いてこの点を克服する方法を開発した。2)非線型楕円型方程式の解に対する検証法を定式化し、Δu=f(x,u,▽u)の形の非線型問題に対し、数値的検証が可能であることを実証した。非線型問題の場合、線型とは異なりL^2理論の適用が一般には困難であるが、例えば2階方程式で1回微分項を欠く場合には、埋め込み定理の適用によりL^2理論で対処可能なことが明らかにされた。3)検証能力の実用的評価を目的として、非線型常微分方程式の2点境界値問題に対する検証法を検討した。即ち、機械力学や電気回路等の非線型振動モデルであるDuffingの方程式に対し、その2点境界値問題の解の存在と、存在範囲を数値的に検証する方法を定式化し、実際に計算機による検証数値例を与えた。この結果、本手法は方程式に含まれる各パラメ-タがある範囲内にある場合には、精度良く解を検証できることがわかり、実用性が確認された。なお検証範囲の拡大と高精度化に向けての検討を行いその見通しを得た。この他、各研究分担者はそれぞれの分野に現れる関数方程式に関して、数値計算法の観点から検討を行い多くの知見を得ている。