微分方程式に対する精度保証付き数値計算法

本年度は特に、楕円型境界値問題と放物型初期境界値問題の厳密解を、計算機によってその存在と精度の保証付きで求める方法(数値的検証法)について検討し、従来手法の改良拡張に関し以下の成果を得た。1.パラメータに依存しturning pointを持つような微分方程式に対する数値的検証法の定式化従来の検証法では、turning pointの近傍では線形化作用素の特異性のために検証不能となったが、この点を克服する手法を見いだし、生物数学に現われる非線形常微分方程式の2点境界値問題に適用しその十分な有効性を確認した。2.非凸領域での楕円型境界値問題の解の検証法非凸領域ではPoisson方程式の解の滑らかさが落ちるため、その有限要素解の構成的a priori誤差評価が困難であり、したがってこれまでの検証定式化は適用できなかった。今回、計算機を用いてPoisson方程式の有限要素解のa priori誤差評価を与える方法を見いだし、平面上のL-shape domainの場合適用し検証数値例を与えた。3.空間多次元の放物型方程式の解に対する検証法空間1次元の場合は既に定式化と基本的検証数値例とが与えられているが、多次元の場合にそのまま適用することはできなかった。今回その点を改良し原理的には空間3次元まで適用可能とし、2次元に対する検証例を与えた。4.残差反復法による楕円型境界値問題に対する検証能力の向上従来の検証法では検証の原理的要因から、解の大きさがある程度以上になると、それにともなって誤差が増大し検証実行時のニュートン的反復列が発散して検証不能となる場合があった。この難点を克服するための種々の残差方程式への変換技法について検討し有効な方法を見いだした。なお本項については今後も継続して検討する予定である。

本年度は特に、楕円型境界値問題と放物型初期境界値問題の厳密解を、計算機によってその存在と精度の保証付きで求める方法(数値的検証法)について検討し、従来手法の改良拡張に関し以下の成果を得た。1.パラメータに依存しturning pointを持つような微分方程式に対する数値的検証法の定式化従来の検証法では、turning pointの近傍では線形化作用素の特異性のために検証不能となったが、この点を克服する手法を見いだし、生物数学に現われる非線形常微分方程式の2点境界値問題に適用しその十分な有効性を確認した。2.非凸領域での楕円型境界値問題の解の検証法非凸領域ではPoisson方程式の解の滑らかさが落ちるため、その有限要素解の構成的a priori誤差評価が困難であり、したがってこれまでの検証定式化は適用できなかった。今回、計算機を用いてPoisson方程式の有限要素解のa priori誤差評価を与える方法を見いだし、平面上のL-shape domainの場合適用し検証数値例を与えた。3.空間多次元の放物型方程式の解に対する検証法空間1次元の場合は既に定式化と基本的検証数値例とが与えられているが、多次元の場合にそのまま適用することはできなかった。今回その点を改良し原理的には空間3次元まで適用可能とし、2次元に対する検証例を与えた。4.残差反復法による楕円型境界値問題に対する検証能力の向上従来の検証法では検証の原理的要因から、解の大きさがある程度以上になると、それにともなって誤差が増大し検証実行時のニュートン的反復列が発散して検証不能となる場合があった。この難点を克服するための種々の残差方程式への変換技法について検討し有効な方法を見いだした。なお本項については今後も継続して検討する予定である。