偏微分方程式の解に対する数値的検証法の新たな高度化の研究

本研究課題と関連した研究協力者との情報交換および研究連携のもとにを検討を行った。本年度得られた研究結果は主として次の通りである。（１）発展型方程式の基本形である熱方程式に対し、その時間周期解に対する従来の全離散解の構成的誤差評価を改良した。具体的なモデル問題に対する数値例を実装し、十分な改良効果が実現されていることを確認した。（２）3次元Stokes 方程式の有限要素解に対するa priori誤差評価定数を用いて、3 次元定常Navier-Stokes 方程式の解に対する数値的検証法を定式化し、非凸多面体領域上の問題に適用して、その検証数値例により、有効性を実証した。これは世界的に見ても未だ例のない画期的な成果であり、国際学術誌に論文として公表した。（３）藤田型の発展方程式に対し、解の爆発可能性および時刻の特定に関して、それらを精度保証付きで求める手法を定式化し、それを用いて空間1次元の藤田型問題に対する爆発時刻包み込みの実例を示し、その有効性を立証した。これは従来の数値的近似とは異なり、解が有限時間爆発することおよびその時刻を、数学的に厳密に保証するものである。（４）線形楕円型作用素に対する近似逆作用素ノルムの厳密な逆作用素ノルムへの収束について考察しその条件を明らかにした。さらに収束オーダーについてもいくつかの可能性を示唆した。楕円型作用素は無限次元であり、それを有限次元で近似した作用素が作用素として収束することは期待できないが、そのノルムは収束することを明らかにするものである。（５）熱方程式の全離散解に対して、その構成的a priori誤差評価定数を計算機援用証明を用いずに導出した。従来のa priori誤差評価定数の算定では、行列固有値問題の解を精度保証付きで求める必要があり、定数の決定が空間領域の形状や個々の離散化スキームに依存し、非効率的であったのに対して、この結果は本質的な改善をもたらすものである。

本研究課題と関連した研究協力者との情報交換および研究連携のもとにを検討を行った。本年度得られた研究結果は主として次の通りである。（１）発展型方程式の基本形である熱方程式に対し、その時間周期解に対する従来の全離散解の構成的誤差評価を改良した。具体的なモデル問題に対する数値例を実装し、十分な改良効果が実現されていることを確認した。（２）3次元Stokes 方程式の有限要素解に対するa priori誤差評価定数を用いて、3 次元定常Navier-Stokes 方程式の解に対する数値的検証法を定式化し、非凸多面体領域上の問題に適用して、その検証数値例により、有効性を実証した。これは世界的に見ても未だ例のない画期的な成果であり、国際学術誌に論文として公表した。（３）藤田型の発展方程式に対し、解の爆発可能性および時刻の特定に関して、それらを精度保証付きで求める手法を定式化し、それを用いて空間1次元の藤田型問題に対する爆発時刻包み込みの実例を示し、その有効性を立証した。これは従来の数値的近似とは異なり、解が有限時間爆発することおよびその時刻を、数学的に厳密に保証するものである。（４）線形楕円型作用素に対する近似逆作用素ノルムの厳密な逆作用素ノルムへの収束について考察しその条件を明らかにした。さらに収束オーダーについてもいくつかの可能性を示唆した。楕円型作用素は無限次元であり、それを有限次元で近似した作用素が作用素として収束することは期待できないが、そのノルムは収束することを明らかにするものである。（５）熱方程式の全離散解に対して、その構成的a priori誤差評価定数を計算機援用証明を用いずに導出した。従来のa priori誤差評価定数の算定では、行列固有値問題の解を精度保証付きで求める必要があり、定数の決定が空間領域の形状や個々の離散化スキームに依存し、非効率的であったのに対して、この結果は本質的な改善をもたらすものである。