Hecke環の表現と対称空間

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標数Oの局所体k上のn次非退化対称行列のなす空間Xには、G=GLu(k)が自然に作用している。X上の、K=GLu(Ok)不変でコンパクトな台をもつ関数の空間をS(K＼X)とすると,これには、Hecke環H(G,K)が作用している。kが奇素数pについてpーfieldである場合に、H(G,K)の表現空間としてS(K|X)の構造を調べることを以前した。今回は2ーfieldの場合を考察した。以上の対称空間の構造を調べる上でも、局所理論は是非しておくべきことである。X上の帯球関数を定義し、それを用いてS(K|X)上に球Fowier変換Fを定義し、これを通してS(K＼X)のH(G,K)ー加群としての構造を調べる。size nの帯球関数は、size n未満の帯球関数と,行列の表現の局所密度で表わすことができ、帯球関数の研究と局所密度の研究は密接に結びついている。より具体的には、i)Fの単射性,ii)Fの像,iii)Fの逆変換,iv)S(K＼X)上のPlruckerel測度,v)H(G,K)ー同時固有関数,の決定を問題にする。size zの時は完全に決定された。p≠2との著しい違いは、S(K＼X)のH(G_1K)ー自由加群としての階数で64(p≠2のときは16),一般にも、P=2なら8^n,P≠2なら4^nと思われる。一般のsizeについても、単射性と、関数等式については決定した。以上と同様の考察を、2ーfield上のHevmete行列のなす空間についても考察し、まとめた。補助金により、他大学の研究者と交流できたのは、大変有意義であった。又、数論関係の書籍も購入できた。