多様体の幾何学

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本研究の主な目標はコンパクトなaspherical多様体G/H,P＼G/H(Gはコンパクトではないリ-群,Hは閉部分群,Kは極大コンパクト部分群,Pは離散部分群)に対して次の問題が成り立つかどうかを調べることであった。問題 コンパクトなaspherical多様体の位相型がその基本群で決定されるか。Malcev,Mastow築により,Gが可解群ならば,G/Hについて上の問題は既に肯定的に解かれているが,本研究においてGが半単純群の場合も肯定的に成り立つことが証明された。証明の概略は,このときG/HがasphericalであることよりG=A×A×‥×A(AはSL(2,1R)の普遍被覆群)となり,基本群Πィ(G/H)の中心の段数をKとするとG/HはK次元ト-ラス群T^Kの自由作用をもち,軌道空間MはP＼S/K(Sは半単純群,Kはそのリ-環が極大コンパクト,Pは離散部分群)となることが分る。最近のFarrellーJonesの結果より,Mの位相型はその基本群によって決定される。従って,G/H の位相型もその基本群で決定される。現在も引き続き,一般のリ-群Gについて研究中であるが,この場合はG/Hがある次元のト-ラス上のファイバ-バンドルがあることが分り,ト-ラス上のファイバ-バンドルの分類と結び付けることが問題であると考えられる。その他関連分野の代数群の研究,リ-マン幾何学の研究及び位相解析学の研究においても,多くの研究結果が得られている。