概均質空間の構造の研究とその応用

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概均質空間の応用について,それぞれの役割分担により研究を行なった。その結果,まず概均質空間が正則(regular)であることの,満足できる定義を得た。その上で、正則な概均質空間の相対不変式のみたす、偏微分方程式系,ならびにその降空間の構造を研究した。この偏微分方程式系は、特に空間が対数的な場合、従来知られていない、著しい対称性をもつことが明らかとなった。その場合,相対不変式の零点集合の、特異性を表現する「指数」が,{α;α:指数}={2ーα;α:指数}という性質をもつことがわかる。このことの系として,既的概均質ベクトル空間の、指数の和に関するトレ-ス公式が証明される。概均質空間のZeta函数については、相対不変式の中積の和として、定義の糸にはできたが,その和をとるべき不連続構造の設定について、代数的側面から種々研究を行なった。まだ決定的結果に至っていない。相対不変式の不変量b(S)の決定については、上記の指数で処理できる場合は終了し,その他、幾何学的な不変性から発生する微分方程式をもつ場合に、具体的決定作業が行なわれた。特に,概均質ベクトル空間の局所化として生ずる概均質空間について,有効な結果を得た。概均質空間の相対不変式の特量性を層化することについての,幾何学的研究もあわせ行なわれ、対数的層化が有効であること、対数的層化では、孤立点の連続体が発生する場合に、それをまとめて一つのものとみなす手法についても、研究し、部分的な成果をおさめた。