確率過程の関数型極限定理の研究

1.ジャンプ型確率微分方程式の解の安定性について、関数型の極限定理を証明した。すなわち、確率微分方程式の係数等の諸デ-タが或る適当な意味で収束するとき、解も対応する極限の確率微分方程式の解に収束し、その収束の意味は、SkorohodのJ_1ー位相についての法則収束の意味で成立する。この種の定理は既にいくつか知られているが、本研究の結果の新しいところは、極限の確率微分方程式に制限を置く代わり、係数の連続性を仮定しないでもよい点にあり、これは応用上有益である。2.統計学に現れるtrimmed sumについて関数型の極限定理を与えた。独立同分布に従うサンプルから一定の比率で下位のものと上位のものを除外して残りのサンプルの和を考えたものをtrimmed sumと呼ぶが、これに関する古典的な定理(Stiglerの定理)の拡張として、空間方向および時間方向についてパラメ-タを入れて関数型の極限定理が成立することを証明した。経験分布を用いる新しい手法によるもので、これはStiglerの定理により深い理解を与えるたけでなく、検定等への応用が期待できる。3.必ずしも独立とは限らない確率変数列のうち、weakly multiplicative systemになっているものについては独立なケ-スと同様に中心極限定理が成り立つことが知られているが、その収束の速さを与えた。またこの結果をヘルダ-連続性を持つ分布の下でのlacunary三角級数に適用できることを示した。4.遷移確率密度を持つ多次元のレヴィ過程について次のことを示した。閉集合Bがsemipolarであるための必要十分条件は、任意のルベ-グ零集合の時間に制限してみたときこの確率過程が集合Bをヒットする確率が初期値に依らずに零になることである。

1.ジャンプ型確率微分方程式の解の安定性について、関数型の極限定理を証明した。すなわち、確率微分方程式の係数等の諸デ-タが或る適当な意味で収束するとき、解も対応する極限の確率微分方程式の解に収束し、その収束の意味は、SkorohodのJ_1ー位相についての法則収束の意味で成立する。この種の定理は既にいくつか知られているが、本研究の結果の新しいところは、極限の確率微分方程式に制限を置く代わり、係数の連続性を仮定しないでもよい点にあり、これは応用上有益である。2.統計学に現れるtrimmed sumについて関数型の極限定理を与えた。独立同分布に従うサンプルから一定の比率で下位のものと上位のものを除外して残りのサンプルの和を考えたものをtrimmed sumと呼ぶが、これに関する古典的な定理(Stiglerの定理)の拡張として、空間方向および時間方向についてパラメ-タを入れて関数型の極限定理が成立することを証明した。経験分布を用いる新しい手法によるもので、これはStiglerの定理により深い理解を与えるたけでなく、検定等への応用が期待できる。3.必ずしも独立とは限らない確率変数列のうち、weakly multiplicative systemになっているものについては独立なケ-スと同様に中心極限定理が成り立つことが知られているが、その収束の速さを与えた。またこの結果をヘルダ-連続性を持つ分布の下でのlacunary三角級数に適用できることを示した。4.遷移確率密度を持つ多次元のレヴィ過程について次のことを示した。閉集合Bがsemipolarであるための必要十分条件は、任意のルベ-グ零集合の時間に制限してみたときこの確率過程が集合Bをヒットする確率が初期値に依らずに零になることである。