確率微分方程式と無限次元空間上の一階偏微分方程式

无限维空间上的随机微分方程和一阶偏微分方程

• 批准号: 05740125
• 负责人: 高信 敏
• 金额: $ 0.58万
• 依托单位: Kanazawa University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1993
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1993 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-05740125/
• 关键词: 確率微分方程式

滑らかな係数V_i,i=0,1,...,n(ただし,爆発しないようにリプシッツ条件を課す)をもつ確率微分方程式を考え,その解をX(t,x)(xは出発点)とする.X(t,x)は,t↓0のとき,次のように確率テイラー展開される:X(t,x)=(1+SIGMA_IB^I_tV_I)zeta(x).1.この展開は,漸近的なもので,一般には収束しない.しかし,これに代数的な意味を付けることができ,指数写像expにより,1+SIGMA_IB^I_tV_I=exp{SIGMA_IU^I_tV_<[I]>}と表すことができる.まず,このときの係数U^I_tを与える公式を得た.無限和SIGMA_IU^I_tV_<[I]>は,1.で述べたように,一般的には収束しない.しかしながら,V_ii=0,1,...,nが生成するリー環が,“巾零"ならば,有限和となり,よって,通常の意味でX(t,x)=exp{SIGMA_IU^I_tV_<[I]>}(x)が成り立つ.また,リー環の条件を少し弱め,単に“有限次元"とするならば,無限和は,tが十分に小さいとき(正確に述べると,ある停止時刻T(>0)が存在して,0<t【less than or equal】Tのとき),収束し,そこで,上記等式が成り立つ.これは,Ben Arousが,以前(1989年)示したことであるが,我々は,1.で得た公式を基にして,同じ結果を得た.3.1.の指数写像で,U^I_tをu^Iとすると,型式的にexp{SIGMA_Iu^IV_<[I]>}(x)となる.これは,無限次元空間上の一階偏微分方程式系の(一意)解となるべきものである.しかしながら,この方程式系,及び,その解について,数学的に厳密な定式化を与えることができなかった.これが,当研究の主目的のはずであったが達成できず至極残念である.これからの取り組むべき問題として,引き続き研究していきたいと思う.

Sliding coefficient V_i, i=0,1,...,nをX(t,x)(xは出発点)とする. MA_IB^I_tV_I)zeta(x).1.このdevelopmentは, asymptotic なもので, general には closing しない.しかし, これにalgebraic なmeaning をpayけることができ, the index is written like expにより,1+SIGMA_IB^I_tV_I=exp{SIGMA_IU^I_tV_<[I]>}とTableすことができる.まず, このときの coefficient U^I_tを and える formula をget た.Infinite sum SIGMA_IU^I_tV_<[I]>は,1.で书べたように, general には close しない. しかしながら, V_ii=0,1,...,nがgenerated するリーcyclic が, " towel zero" ならば, limited sum となり, よって, the usual meaning isに"finite dimension"とするならば,infinite sum は,tが十に小さいとき(correct に说べると,あるstop time T(>0)がexistent して,0<t【less than or equal】Tのとき), 合し, そこで, the above equation が成り立つ.これは, Ben Arous が, previously (1989) showed したことであるが, I 々は, 1.で got た formula を base に し て, the same result を got た. 3.1. の index is written like で, U^I _tをu^Iとすると, type of exp{SIGMA_Iu^IV_<[I]>}(x)となる.これは, system of first-order partial differential equations in infinite dimensional spaceの(一意)solvedとなるべきものである.しかしながら,このequation system, and The solution of mathematics .これが, when the main purpose of research is achieved, it will be extremely sad.これからのtakingり组むべきquestionとして, inducing き続き研究していきたいと思う.