単項式イデアルの極小自由分解の研究

单项式理想最小自由分解的研究

• 批准号: 07640001
• 负责人: 日比 孝之
• 金额: $ 1.41万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• 财政年份: 1995
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1995 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-07640001/
• 关键词: 多項式環; 有限自由分解; 単項式イデアル; 凸多面体; 単体的複体; Cohen-Macaulay型; グレブナ-基底; Kruskal-Katona定理

多項式環AのイデアルIがあったとき,剰余環A/Iの有限自由分解にはIの代数的情報のすべてが含まれている.従って,A/Iの有限自由分解の構造を解析することは,可換環論における究極的な課題である.我々は,計算代数および組合せ論との相互関係から,square-freeな単項式が生成するイデアルに着目し,その有限自由分解の基礎理論を多角的に築くことを目的とした研究を進展させ,次のような研究成果を得た.第1に,凸多面体の上限定理に現れる巡回凸多面体の境界複体に付随するイデアルを考察し,その極小自由分解のベッチ数列を計算可能な式で表示した.第2に,単体的複体Δに付随するイデアルI_Δの極小自由分解が純,あるいは線型となる類の組合せ論的な特徴付けを探究し,I_Δの極小自由分解が純となる旗複体Δを分類した.第3に,整数d,q,eで1≦q-1≦e≦dを満たすものが任意に与えられたとき、square-freeな単項式が生成するイデアルIで,剰余環A/Iの次元がd,深さがe,更に,A/Iの極小自由分解がq-線型となるものを構成せよ,という懸案の問題を研究する過程において,square-freeなlexsegmentイデアル,およびsquare-free安定イデアルの概念に到達し,square-free安定イデアルの極小自由分解を具体的に構成することに成功するとともに,所期の問題についての明快な解答を得た.第4に,有限半順序集合の比較可能なグラフの連結度に関する研究に,有限自由分解の構造理論、特に,Cohen-Macaulay型の計算公式が極めて有益であることを発見し,階数d-1のモジュラー束Lが階数3の原子的閉区間を含むならば,Lの比較可能グラフの連結度は,少なくともdであることを証明した.第5に,計算代数におけるグレブナ-基底の理論を,外積代数で展開することで、極値集合論の古典理論におけるKruskal-Katonaの定理の一般化となるベッチ数列についての不等式を導くことに成功した.

The finite free decomposition of polynomial ring A/I contains algebraic information of ring I. The structure of finite free decomposition of A/I is the ultimate problem in commutative ring theory. In this paper, we discuss the relationship between computational algebra and combinatorial theory, and obtain the results of finite free decomposition theory. In the first part, the upper bound theorem of convex polyhedron is presented. The boundary complex of a traveling convex polyhedron is investigated. The minimal free decomposition of a convex polyhedron is expressed by a computationally possible sequence. 2. The minimal free decomposition of the complex Δ of a single entity is pure, and the minimal free decomposition of the complex Δ of a single entity is pure. The third, integer d,q,e <$1 <$q-1 <$e <$d Square-free stability of the minimum free decomposition of the concrete structure of this success, the expected problem of this bright solution. Fourthly, the finite semi-ordered sets are studied in relation to the degree of connectedness of the finite semi-ordered sets. The structural theory of finite free decomposition, in particular, the formula for calculating the Cohen-Macaulay type is very useful. It is found that the closed interval of the finite semi-ordered sets L with order d-1 and order 3 contains the degree of connectedness of the finite semi-ordered sets. 5. Computational algebras, generalizations of Kruskal-Katona theorems, generalizations

项目成果

Takayuki Hibi: "Buchsbaum complexes with linear resolutions" Journal of Algebra. (掲載予定). (1996)

Takayuki Hibi：“具有线性分辨率的 Buchsbaum 复数”《代数杂志》（即将出版）。

日比孝之: "‘数え上げ'の世界" 数学. 47. 256-268 (1995)

Takayuki Hibi：“‘计数’的世界”数学 47. 256-268 (1995)

Winfried Bruns: "Stanley-Reisner rings with pure resolutions" Communications in Algebra. 23. 1201-1217 (1995)

Winfried Bruns：“Stanley-Reisner 环具有纯粹的分辨率”代数通讯。

Takayuki Hibi: "Star-shaped complexes and Ehrhart polynomials" Proceddings of the American Mathimatical society. 123. 723-726 (1995)

Takayuki Hibi：“星形复数和埃尔哈特多项式”美国数学会会议录。

Jurgen Herzog: "Upper bounds for the number of facets of a simplicial complex" Proceedings of the American Mathematical Society. (掲載予定). (1996)

Jurgen Herzog：“单纯复形面数的上限”美国数学会论文集（即将出版）。