位相的弦理論による時空多様体の記述とその幾何学

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1.位相的弦理論のもつ可積分構造を手がかりとして、弦の運動する時空に関する(量子論的な)幾何学構造を明らかにしようと試みた。その結果、可積分方程式系の一つである戸田格子方程式系により支配される位相的弦理論は一次元的な時空を運動する弦の幾何学を記述できることがわかった。具体的には、自己双対半径の円にコンパクト化したc=1非臨界弦理論と一次元複素射影空間をターゲットとする位相的シグマ模型およびその一般化を調べた。このような可積分性がミラー対称性のような弦理論に特有な幾何学の理解に重要かどうかは今後の課題である。2.さらにより高い次元の位相的弦理論を構成するための一つの方法は、対称性を拡大して位相的W代数に基づく弦理論(位相的W弦理論)を考えることである。我々は、位相的W代数が超リー代数A(n,n-1)からハミルトニアン・リダクションにより得られることを示した。また、位相的W弦理論における物理量のなす代数がグラスマン多様体のコホモロジー環と同一視できることを利用して、位相的W弦理論の可積分構造とグラスマン多様体のコホモロジー環の量子変形との関係を調べた。3.場の理論における無限次元の幾何学を取り扱うための一つの道具は径路積分法である。位相的場の量子論では、径路積分に数学的な意味付けを与えることは特に重要である。我々は、径路積分が数学的に意味を持つ例の一つとして無限次元ハイゼンベルク代数の表現の核関数が径路積分を用いて表せることを示した。さらに、これを利用してアファイン・リー代数の基本表現を与える頂点作用素の径路積分表示を求めた。