偏微分方程式の初期値問題の複素解析的研究

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複素解析的な初期値問題において、初期データが交差するような特異性を持つとき、解はどこにどの様な特異性を持つのかということについて研究した。初期データが初期面内の余次元1の非特異な多様体上にのみ特異性を持つ場合には、浜田氏による歴史的研究があって、その多様体を通る特性集合上に解の特異性が現れることが分っている。ところが、初期データの特異性集合が交差している場合には、初期値の特異性集合をWhitney stratified setと見なしたときの各strataを通る特性集合の合併上に解の特異性は現れることが分る。そのことの証明は、解の積分表示を求めて、そこに出てくるサイクルをThomのisotopyを用いて連続的に変形するというものである(ただし、いま作用素は定数係数と仮定する)。また、初期データの特異性が確定特異点型である場合には、Phamによる一般化されたPicard-Lefschetz理論を適用することにより、解の振舞いを記述することが出来て、解も(ある一定の条件の下に)確定特異性を示すことが分る。しかしながらいまなお定数係数という制限がある。なんとかこの制限を取り払いたい。また、Lerayは彼の歴史的な長大な連作論文(それはいまなおアイデアの宝庫である)の中で“一般化されたTricomi作用素"という概念を定義しそれに対する興味深い考察を行っている。通常のTricomi作用素の確定特異性を持つ解が超幾何関数で書けることを考えると、一般化されたTricomi作用素に対して、上のような初期値問題を考えることは大変興味深い。これらが今後の課題である。