可解格子模型の解析

可解格子模型は統計力学,場の理論,数理物理学の重要な研究対象となっている。本研究では,量子アフィンリー代数,またはヤンギアンという量子群の対称性をもった可解格子模型を考察した。特にこれら量子群のいろいろな表現に対応して,転送行列もT_1,T_2,...と一般にある可換な族をなしている。これらは補助空間の表現によってラベルされるが,問題はこれらの固有値を決定することである。これに対し,今年度は解析的ベ-テ仮説法と関数方程式,更にヤング図形の類似物等の組み合わせ論的手法を融合して,多くの成果を収めた。まず,解析的ベ-テ仮説により,与えられたヤンギアンの基本表現に相当する転送行列のすべてについて,古典型Ar,Br,Cr,Drの場合に固有値を与えた。またそれらがみなヤング図形の類似物を用いて統一的に記述されることを示した。さらにそれら基本表現に関するデータを初期状態として,転送行列間の関数方程式を解くことによって高い表現の場合の固有値の予想を多くの場合に得た。これらは組み合わせ論的にも興味あるヤンギアンの有限次元既約表現の基底のラベルとして自然なものを示唆している。もう一つの大きな成果は,これら解析的ベ-テ仮説の知見に基づいて,いままで知られていなかったねじれ型アフィンリー環の表現に付随した転送行列間の関数方程式を提出したこと,をれらの解析的ベ-テ仮説による解を構成したことがあげられる。

可解格子模型は統計力学,場の理論,数理物理学の重要な研究対象となっている。本研究では,量子アフィンリー代数,またはヤンギアンという量子群の対称性をもった可解格子模型を考察した。特にこれら量子群のいろいろな表現に対応して,転送行列もT_1,T_2,...と一般にある可換な族をなしている。これらは補助空間の表現によってラベルされるが,問題はこれらの固有値を決定することである。これに対し,今年度は解析的ベ-テ仮説法と関数方程式,更にヤング図形の類似物等の組み合わせ論的手法を融合して,多くの成果を収めた。まず,解析的ベ-テ仮説により,与えられたヤンギアンの基本表現に相当する転送行列のすべてについて,古典型Ar,Br,Cr,Drの場合に固有値を与えた。またそれらがみなヤング図形の類似物を用いて統一的に記述されることを示した。さらにそれら基本表現に関するデータを初期状態として,転送行列間の関数方程式を解くことによって高い表現の場合の固有値の予想を多くの場合に得た。これらは組み合わせ論的にも興味あるヤンギアンの有限次元既約表現の基底のラベルとして自然なものを示唆している。もう一つの大きな成果は,これら解析的ベ-テ仮説の知見に基づいて,いままで知られていなかったねじれ型アフィンリー環の表現に付随した転送行列間の関数方程式を提出したこと,をれらの解析的ベ-テ仮説による解を構成したことがあげられる。