Dynamik und Geometrie linearer algebraischer Gruppen

线性代数群的动力学和几何

• 批准号: 5274746
• 负责人: Professor Dr. Herbert Abels
• 金额: --
• 依托单位: Fakultät für Mathematik
• 依托单位国家: 德国
• 项目类别: Research Units
• 财政年份: 2000
• 资助国家: 德国
• 起止时间: 1999-12-31 至 2006-12-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://gepris.dfg.de/gepris/projekt/5274746?language=en
• 关键词: Dynamik; und; Geometrie; linearer; algebraischer

In diesem Teilprojekt sollen vor allem geometrische und dynamische Eigenschaften von linearen algebraischen Gruppen und ihren Untergruppen untersucht werden. Beim Studium der Dynamik solcher Gruppen spielt der Begriff der Proximalität eine zentrale Rolle. Eine lineare Abbildung heißt proximal, wenn sie einen Eigenwert von maximalem Betrag hat und dieser Eigenwert die algebraische und geometrische Vielfachheit eins hat. Die Dynamik einer solchen Transformation ist sehr einfach und durchsichtig und deshalb leicht zu überblicken. Von Interesse sind proximale lineare Abbildungen, weil sie in verschiedenen Zusammenhängen auftreten: Perron-Frobenius Operatoren, Tits Alternative. Einige grundlegende Fragen über die Existenz von proximalen Abbildungen sind geklärt worden. Außerdem können Fragen über kompliziertere Transformationen, insbesondere über deren Lyapunov-Filtrierung, auf solche über proximale Abbildungen zurückgeführt werden. In der grundlegenden Arbeit von Gol'dsheid und Margulis wurde die Frage beantwortet, wie die Lyapunov-Filtrierung von Produkten von zufälligen Matrizen aussieht. Dieses Resultat wiederum wurde in der genannten Arbeit angewandt auf ein Problem aus der mathematischen Physik, nämlich auf Schrödinger Matrix-Differenzengleichungen. Geplant ist, in diesem Teil des Projekts die Dynamik linearer Abbildungen dazu zu benutzen, um die begonnenen Untersuchungen zum Auslander-Problem und allgemeiner über affine kristallografische Gruppen fortzusetzen. Ein zweiter Teil des Projekts betrifft geometrische Aspekte von linearen algebraischen Gruppen. Diese Gruppen, insbesondere die reduktiven Gruppen, tragen verschiedene natürliche Metriken, gegeben durch die Operatornorm, die natürlichen Wirkungen auf symmetrischen Räumen bzw. Bruhat-Tits-Gebäuden, die Exponentenbewertung auf maximalen Tori und die Wortmetrik für ein kompaktes Erzeugendensystem. Studiert werden sollen die geometrischen Eigenschaften dieser Metriken auf der gegebenen Gruppe und auf arithmetischen Untergruppen. Insbesondere soll an folgenden Fragen gearbeitet bzw. weitergearbeitet werden: In wie weit stimmen die aufgeführten Metriken überein (Quasiisometrie, grobe Isometrie)? Entstehen neue Metriken, wenn man entsprechende Konstruktionen für arithmetische Untergruppen G der gegebenen Gruppe G macht (Vermutung von Kazhdan)? Wie verhält sich die Metrik des homogenen Raums G/G zu der eines Fundamentalbereichs nach Siegel für G in G (Vermutung von Siegel)? Ein dritter Teil betrifft kristallografische Gruppen. In einer kürzlich erschienenen Arbeit wird die folgende Frage behandelt: Gegeben sei eine endliche Menge S von Isometrien des affinen euklidischen Raumes Rn. Unter welchen Bedingungen ist die von S erzeugte Gruppe G diskret bzw. sogar kristallografisch? Die Antwort wird als Serie von Tests formuliert. G ist genau dann diskret bzw. kristallografisch, wenn S alle Tests besteht. Das Verfahren ist algorithmisch, sollte also im Prinzip auch für eine Rechenmaschine programmierbar sein. Eine lohnende Aufgabe wäre es, ein solches Programm zu entwickeln, zu testen, Laufzeiten festzustellen und das Verfahren entsprechend den Bedürfnissen des Rechners weiter auszugestalten und zu verbessern. Ein vierter Teil betrifft multiplikative Ergodensätze. A. Karlsson hat in seiner Dissertation unter der Anleitung von G. Margulis einen sehr allgemeinen Zugang zu einer ganzen Reihe von Ergebnissen erarbeitet, die man als multiplikative Ergodensätze interpretieren kann. Der Zugang ist gleichzeitig geometrisch und wahrscheinlichkeitstheoretisch. Genauer gesagt wird ein multiplikativer Ergodensatz für zufällige Produkte von nichtexpandierenden Abbildungen bewiesen. Dieser fruchtbare Ansatz soll weiter verfolgt und vertieft werden. ...

在这个Teilprojekt sollen对所有线性代数群和线性代数群的几何和动力学特征的求解都是韦尔登的. Beim Studium der Dynamik solcher Gruppen spielt der Begriff der Proximalität eine zentrale Rolle.一条直线是最接近的，如果她有一个最大化Betrag的本征值，而这个本征值是代数和几何的Vielfachleins。动力学中的一个solchen变换是一个很好的方法，而且很容易被忽略。Von Interesse sind proximale lineare Abbildungen，weil sie in verbedenen Zusammenhängen auftreten：Perron-Frobenius Operatoren，Tits Alternative.一个基本的Fragen über die proximalen Abbildungen sind geklärt沃登。Außerdem können Fragen über kompliziertere Transformationen，insbesondere über deren Lyapunov-Filtrierung，auf solche über proximale Abbildungen zurückgeführt韦尔登.在Gol'dsheid和Margulis的基础工作中，使用了Frage beantetet，就像使用Lyapunov过滤器过滤Zufälligen Matrizen的产品一样。这一结果在数学物理学的一个问题上得到了广泛的应用，并在薛定谔矩阵-微分方程上得到了体现。在这个项目的第二部分中，动力学线性方程组的建立，开始了对澳大利亚问题的研究，并且所有的研究都是由Gruppen fortzesetzen提出的。一个关于线性代数组的几何方面的第二个项目。这一组，在减少组数的同时，通过操作员规范，使自然度量衡变得更加准确，自然度量衡也变得更加对称。Bruhat-Tits-Gebäuden，die Exponentenbewertung auf maximalen Tori und die Wortmetrik für ein kompaktes Erzeugenden system.韦尔登将几何特征分解为几何群和算术群的度量衡。我们需要一个折叠的框架。weitergearbeitet韦尔登：In wie weit stimmen die aufgeführten Metriken überein（Quasiisometrie，grobe Isometrie）？如果一个人开始为计算G集团的G集团（由Kazhdan计算）构造新的Metriken，在G中G的基础理论中，均匀空间G/G的度量方法如何适用于西格尔？一个更小的Teil betrifft kristallografft he Gruppen.在一个非常复杂的工作中，我们需要一个简单的Frage：Gegeben sei eine endliche Menge S von Isometrien des affinen euklidischen Raumes Rn。下一页是关于G集团的最新消息。sogar kristallografisch？蚂蚁将成为测试赛的一部分。这是一个很好的例子。kristallografisch，wenn S alle Tests besteht. Das Verfahren ist algorithmisch，sollte im Prinzip auch for eine Rechenmaschine programmierbar sein. Eine lohnspeak Aufgabe wäre es，ein solches soughtmmm zu entwickeln，zu testen，Laufzeiten festzustellen und das Verfahren entsprechend den Bedürfnissen des Rechners weiter auszugestalten und zu verbessern. Ein vierter Teil betrifft multiplikative Ergodensätze. A.卡尔松在他的论文中提到了G. Margulis einen sehr allgemeinen Zugang zu einer ganzen Reihe von Ergebnissen erarbeitet，die man als multiplikative Ergodensätze interpretieren kann。这是一个抽象的几何学和抽象的理论。Genauer gesagt wird ein multiplikativer Ergodenplant für zufällige Produkte von nichtexpandierenden Abbildungen bewiesen.她的头发会变得更漂亮，更韦尔登。...