モジュライ空間の幾何と3・4次元多様体の不変量の研究

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サイバーグ.ウィッテンによる4次元多様体上のモノポール方程式を用いて、シンプレクティック4次元多様体に関するいくつかの結果を得た。主な結果は次の通りである。スカラー曲率が正であるリーマン計量を許容するシンプレクティック4次元多様体は、ブロ-アップ・ダウンを除いて有理曲面か線織面に微分同相であること、また接束の第一チャーン類とシンプレクティック2形式との積の積分が正であるシンプレクティック4次元多様体は、やはりブロ-アップ・ダウンを除いて有理曲面か線織面に微分同相であることを証明した。特に接束の第一チャーン類がシンプレクティック2形式の定める2次のコホモロジー類と正に比例するならば、それはデルペソ曲面に微分同相であることを証明した。これらの証明には、モノポール方程式の解のモジュライ空間を用いたサイバーグ.ウィッテン不変量が計量や摂動に依存する場合(交叉形式の正固有値が一つの場合)にその依存性そ解析すること及び、タウベスによるモノポール方程式の解とJ曲線との関係を用いることによる。他にもマンフォードによる擬射影平面に入りうるシンプレクティック構造の制約や有理曲面と極小一般型代数曲面は微分同相になりえないことの簡単な証明も与えた。後者は、S^2×S^2と微分同相な一般型代数曲面は存在しないだろうというヒルツェブルフ予想、これはキンにより解かれている、やコチック等による結果を含むものであり、しかも我々の証明はかなり簡単になっている。これらは全て、お茶の水大学理学部数学教室の小野薫氏との共同研究による成果である。