複素解析幾何を用いた力学系の研究

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実多項式を、実数から実数への写像と思い、その合成に関する力学系的性質を研究した。特に実3次多項式について、次の2つの結果を得ることができ、現在論文にまとめている。1)2つのcritical pointsのうちの一方を、与えられた有限型のkneading列で束縛して得られる、実3次多項式族の1パラメーター族の上では、kneading dataが単調に変化することを示した。このことにより、位相的エントロピーも単調に変化することがわかる。この結果は2次多項式族におけるMilnor-Thurstonの結果の自然な拡張になっている。用いる道具としては、kneading理論における中間値の定理と、critically tiniteな有理写像に関するThurstonのrigidity定理がある。ともに2次の時に使われた道具で、これらを3次の時にも使えるように改良したところが今年度の結果である。この仕事は、城西大理学部の西沢清子助教授との共同研究による。2)実3次多項式族の中で、少なくとも一方のcritical pointの軌道が無限遠点に向かうような写像全体の上では、位相エントロピーが一定な集合は単連結であることを示した。これは「3次多項式族の上では、位相エントロピーのレベル集合は連結であろう」というMilnorの予想に対し、部分的な解答を与えている。用いる道具としては、2つのcritical pointsの軌道がともに有界な写像全体の境界における、位相エントロピーの単調性を1)の手法で示し、そしてBranner-Hubbardによる複素3次多項式写像族の構造定理を、実3次多項式族の場合に書き直すことである。