符号理論、格子理論と正標数の代数多様体

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有限体F_2上の[n,k,d]符号全体の集合Fを考える。[n,k,d]符号に対し、(d/n,k/n)を対応させる写像〓はFからIR^2の部分集合[0,1]^2への写像を与える。その像Im〓の集積点の集合は、Maninによって研究され、[0,1]区間で定義されたある連続関数R=αg(δ)によって{(δ,R)|0≦R≦αg(δ)}として表わされることが知られている。本研究では、[7,4,3]Hamming符号に対応する点(3/7,4/7)を考え、そのまわりに存在する符号の様子を調べた。[n,k,d]符号Cの像〓(C)=(x,y)とするとき、Cと同値な符号C′で〓(C)=〓(C′)となるものが存在しないとき、Cは完全孤立であるという。また、Br((x,y)={(u,v)∈〔0,1〕^2|(u-x)^2+(v-y)^2<r}とおく。Br(〓(C))の中に〓(C′)(C′はCと同値ではない)がはいるような符号C′が存在しないとする、そのようなrの最大値をCの孤立半径という。これらの用語の下に次のような結果を得た。1)[7,4,3]Hamming符号は完全孤立であり、その孤立半径は2√<2>/77である。また、この符号に一番近い符号は[11,6,4]符号である。2)[7,4,3]Hamming符号と[8,4,4]拡張Haraming符号の距離は1/(√<98>)であるが、それを半径とする円板の内部に含まれる線型符号は6種類しかない。Golay符号に対しても同様の考察をおこないほぼ最終的な結果を得た。