多様体上の種々の幾何構造と大域解析の研究

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シンプレクティック多様体の構造を調べる為にJ-正則曲線特にJ-正則有理曲線が有効である事が近年の研究で明らかになってきている。Seiberg-Witten不変量が0でない時、対応してJ-正則曲線が存在するというTaubesの結果を用いて、名古屋大学の太田啓史氏と共に、私は、4次元シンプレクティック多様体がある種の正値性を持つと、それは、有理曲線又は線織曲面になるという結果を得、それを論文として出版する事ができた。我々は、その後ある種の3次元接触多様体についてもその議論に似た方法で情報を得る手掛りを得た。詳しくはこれからの研究で明らかにされるであろう。シンプレクティック多様体の中のJ-正則曲線を数え上げる話は、Gromov-Witten不変量の理論と呼ばれている。考えているシンプレクティック多様体が半正値という条件を満たすときは、Ruan-Tianが数学的な定義、基本的性質を確立していたが、一般の場合は定義もなかった。京都大学の深谷賢治氏との共同研究で、一般の場合のGromov-Witten不変量の定義及び基本的性質を満たすことの証明を与えることができた。ここでは、有限群の対称性を持つフレッドホルム写像を如何に横断的にするかという問題を多価の摂動という考えで乗り越えた。論文は投稿中である。また、この論文で一般の閉シンプレクティック多様体上の周期的ハミルトン系に対するフロア-、ホモロジーもこの方法を用いて定義・計算することができ、ア-ノルドによる予想を弱い形ながら示すことができた。