接触ホモロジーの計算手段の開発とオープンブック分解

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Otto van Koertは外国人特別研究員として接触トポロジーの研究に従事した。来日前からFrederic Bourgeois氏と接触ホモロジーについて共同研究をしていたが、それを継続し、接触多様体の連結和に対してcylindricalな接触ホモロジーの完全系列が得られることや、代数的過旋性という概念を導入し、実際にその条件を満たす接触多様体の構成を行った。3次元接触多様体はtightなものと過旋(overtwisted)なものとに分かれる。3次元接触トポロジーでは埋め込まれた曲面、特に円盤に誘導される特異点をもつ分布(特性葉層)を調べることが重要である。高次元ではtight,過旋に当たるものあるのかどうかは興味ある問題で、代数的過旋性は接触ホモロジーを用いた試みといえる。これらの研究では、接触多様体を境界に持つsymplectic多様体内の正則曲線の挙動を調べることが鍵となる。特に、接触多様体内のLegendrian部分多様体へhandleを付けて得られるsymplectic多様体を考察する際、正則曲線がhandleのコアを避けるかどうかを決定することが重要であった。また、接触多様体はオープンブック分解とよばれる記述ができる。オープンブック分解の立場から接触ホモロジーにかかわる正則曲線の理解をすることも重要で、部分的な結果を得ている。接触構造は局所的な標準形(Darboux球体近傍)を持つ。与えられた接触多様体がいくつのDarboux球体近傍で覆われるかの最小値を求めることは素朴な問題である。Yuri Chekanov, Felix Schlenk両氏との共同研究で、3次元多様体の場合にはこの数を決定し、また高次元の場合には、この数が次元+1を超えないことを示した。5次元接触多様体のオープンブック分解のpageは3次元多様体となるので、Kirby図式を用いた記述ができる。Monodromyが自明となるオープンブック分解で得られる5次元接触多様体について、Fan Ding, Hansjoerg Geigesの両氏と共同研究を行い、そのような多様体の分類を得た。