非線形シュレディンガー方程式における確率的効果

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今年度の実績は大きく三つある。一つ目の成果は分散マネージメント光ファイバーという光ファイバー技術に関連する。その技術とは入力した波が元来持つ分散性によりエネルギー損失が起こるのを防ぐために分散性を周期的に符号変化させて、分散の平均をゼロとするようなファイバーを作るというものである。この技術により、長距離光通信が可能になる。しかしながら、この分散マネージメント光ファイバーのモデル方程式は、周期的な係数を考慮したMaxwell方程式の近似として、非線形Schrodinger方程式で表現されるものなのか以前から問われていた。この問いに対して、否定的な解答（例）を得、単独の非線形 Schrodinger方程式でなく、非線形 Schrodinger のシステムが近似であるはずだという結論を導いた。二つ目の成果は、電気対流におけるパターン形成の現象論的モデルにおけるノイズの影響についてである。具体的には加法的時空ノイズを加えた、線形作用素が非対称なSwift-Hohenberg方程式の大域解が存在することを証明し、適切なスケーリングのもとで、その解が確率的な複素 Ginzburg-Landau方程式の解によって近似されるであろうという予想を数値解析によって観察した。三つ目の成果としては、空間次元3次元以上、全空間においてストラトノビッチ型乗法的ノイズを持つ非線形対数型拡散方程式の解の大域存在を証明した。扱った方程式は多孔質媒体作用素の非線形冪ゼロの場合に相当し、Barbu-Rockner-Russo (2015) の論文で未解決問題とされていたが、この問題を解決した。