Entropie und die Approximation von Funktionen auf metrischen und topologischen Räumen

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In Analogie zur klassischen Approximationstheorie, die den Grad der Approximierbarkeit stetiger Funktionen durch Polynome in Beziehung setzt zu Glattheitseigenschaften der betreffenden Funktionen (Sätze von Jackson und Bernstein), soll auf beliebigen kompakten metrischen Räumen eine quantitative Approximationstheorie für stetige Funktionen entwickelt werden. Die Rolle der Polynome kann dabei einmal von Linearkombinationen sogenannter kontrollierbarer Zerlegungen der Einheit übernommen werden, zum anderen von sogenannten kontrollierbaren Treppenfunktionen. Beide Ansätze führen zu nichtlinearen Theorien. Ziel ist die Gewinnung linearer Approximationsschemata innerhalb dieser Theorien. Bei der Untersuchung gleichmäßiger Limites kontrollierbarer Treppenfunktionen stößt man auch auf unstetige Funktionen. Jedoch besitzen die in diesem Sinne approximierbaren Funktionen noch eine abgeschwächte Stetigkeitseigenschaft - sie sind quasistetig im Sinne von Kempisty. Diese Erkenntnis kann zum Ausgangspunkt für eine qualitative Approximationstheorie quasistetiger Funktionen auf beliebigen topologischen Räumen genommen werden.