3次元多様体基本群の表現に関する研究

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双曲結び目に沿ったデーン手術は、ほとんどの場合双曲多様体を生み出すことがThurstonにより示されている。よって、双曲結び目のデーン手術の主な研究課題の一つとして、その例外の場合(例外的デーン手術)の特徴付けがある。例外的デーン手術は、Thurstonの幾何学化予想を仮定すると、可約的な場合、本質的トーラスを含む場合、巡回的な場合、有限的な場合、そして、(基本群が無限群の)ザイフェルト多様体を産む場合に分けられる。Dunfieldは、例外デーン手術が巡回的な場合に、その手術スロープ近くに本質的曲面の境界スロープが見付かることを示した.また、可約的な場合と、本質的トーラスを含む場合については、そのその手術スロープ自体が本質的曲面の境界スロープとなっている。今回の研究では、例外的手術一般の場合に付いて、同様の結果を示した。また、有限的な場合とザイフェルト多様体を産む場合については、その距離の評価も得た。この結果により、今まで場所が不明であった例外的デーン手術のスロープも、その結び目の外部空間の本質的曲面の様子を調べることにより、見付けることが出来るようになった。用いた手法は次の通りである。結び目の外部の基本群のSL(2,C)への表現の指標全体の成す空間を考え、その複素1次元成分(曲線)を固定する。その情報を用いてスロープに対し定義されているノルムを取ると、例外的手術のスロープはノルムが小さい、という事実を用いて、良い性質の極限点を曲線上にみつける、と言うものである。そして、その極限点から生成される本質的曲面の境界スロープが求めるものである。