非可換ゲージ理論の研究

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今年度は、シンプレクティック多様体の無限増大列からなる無限次元シンプレクティック多様体上でのキャパシティー不変量の厳密な構成を行い、さらに具体例での計算も行った。無限次元シンプレクティック多様体は、その中に非常にたくさんの無限次元部分シンプレクティック多様体を含むが、もとの無限次元シンプレクティック多様体上の概正則曲線のモジュライ空間と、そこに含まれる無限次元部分シンプレクティック多様体上のそれらとは、アプリオリには関係がない。キャパシティー不変量の定式化において、無限次元シンプレクティック多様体の無限小近傍をいう概念を導入していた。それを使って、無限次元部分シンプレクティック多様体が無限小近傍の元であれば、その概正則曲線のモジュライ空間と、もとの無限次元シンプレクティック多様体のそれとが同型であることを示すことができた。これはモジュライ空間の安定性が無限次元の一つの枠組みで成立することを示している。今後はモジュライ空間、そしてキャパシティー不変量のフロウによる安定性を研究することが重要な研究テーマとなる。また、具体例では、無限次元射影空間と、無限次元トーラスで計算を行った。この二つの計算方法は、典型的な等質空間や、または典型的な力学系の性質を持つ空間にも通じる。そのような性質を持つ無限次元シンプレクティック多様体の例をよりたくさん構成することも、今後の重要な課題である。グロモフウイッテン不変量の構成においては、各有限次元シンプレクティック多様体上のそれらの極限を取ったものと無限次元シンプレクティック多様体上で直接構成されたものとが、一致することが期待される。現在ではモジュライ空間のパラメーターを制限することで、前者が得られることが分かっている。さらに、後者の構成のためにモジュライ空間をコンパクト化した時の振る舞いを精密に研究している。