開複素等質多様体上の積分幾何と特異な無限次元表現の実現

开复齐次流形上的积分几何和奇异无限维表示的实现

• 批准号: 14740117
• 负责人: 関口 英子
• 金额: $ 1.86万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2002
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2002 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-14740117/
• 关键词: ペンローズ変換; 半単純リー群; ユニタリ表現; 有界対称領域; 複素多様体; 積分幾何; 概均質ベクトル空間; 超幾何函数; 積分幾可

AIII型の有界対称領域D⊂C^<n^2>に対して,k階の小行列式型の連立偏微分方程式系M_kを考える.k=2の場合のM_kの解空間は多重調和関数の空間であり,Siegel上半空間におけるWeil表現の実現(柏原-Vergne)の類似になっている.さらにEuler作用素を付け加えるとGauss-青本-Gelfandの超幾何微分方程式系になることが知られている.k>2の場合は,3階以上の偏微分作用素が現れ,より一般の微分方程式系となる.その解空間については組織的な研究はなされていなかった.この方程式系を<Μ_k>^^^〜(λ)と書く.すなわち,<Μ_2>^^^〜(λ)は青本-Gelfandの超幾何微分方程式系であり,多重指数λは固有関数のパラメータになる.n, k,λが一般の場合にk階の偏微分方程式系<Μ_k>^^^〜(λ)の研究を行った.その手法は,当該研究者が前年度までの研究成果として得たペンローズ変換を用い,Dolbeaultコホモロジーの部分空間であって<Μ_k>^^^〜と同型になる線型空間を表現論的に構成することが重要なステップとなった.このDolbeaultコホモロジーはVogan-Zuckermanの導来加群を用いて代数的な性質を調べることができる.特に,K-type公式をBlattner予想(定理)を用いて具体的に計算し,さらに,それを極大トーラスに制限したときの分岐則を計算することによって,各固有値λに対応する固有関数の空間の(ペンローズ変換による)原像を決定することができる.この方針によって,方程式系<Μ_k>^^^〜(λ)はholonomicではないが,大域解からなる空間の次元は有限になることを証明した.特に,k=3かつn=3の場合に解空間の次元dim<Μ_3>^^^〜の組み合わせ論的な公式を与え,さらに,パラメータλ(多重指数)が無限年近づくときの漸近挙動を決定した.

考虑AIII类型的有界对称区域D⊂C^<n^2>的同时部分偏微分方程的K阶小矩阵类型系统。在K = 2的情况下，M_K的解空间是多个谐波函数的空间，与Siegel上半部空间（Kashiwara-vergne）中的Weil表示的实现相似。此外，添加了Euler运算符，高斯 - 博 - 哥粉德的超小几幅差异过程已知是方程式系统。在k> 2的情况下，出现了三阶或更高的部分差分运算符，并成为一个更通用的微分方程系统。没有关于解决方案空间的组织研究。该方程系统写为<μ_k>^^〜（λ）。换句话说，<μ_2> ^^〜（λ）是蓝色gelfand的超几何微分方程的系统，而多指数λ是本本特征功能的参数。 n，如果k和λ是常见的，则研究人员是在k级部分微分方程系统上进行的<μ_k> ^^至（λ）。这种方法是使用作为研究人员获得的penrose转换，直到上一年才能表达线性空间，该线性空间是Dolbeault共同体的子空间，该空间与<μ_k> ^^^〜相同。可以使用Vogan-Zuckerman的派生组来研究这种Dolbeault的共同体。特别是，使用Blattner预测（定理）使用K型公式进行具体使用。通过计算分支规则，当它仅限于最大圆环时，我们可以确定与每个特征值λ相对应的特征功能空间的原始图像（通过penrose转换）。这种方法证明，尽管方程式<μ_k> ^^^〜（λ）不是自动的，但由全局溶液组成的空间结构的尺寸是有限的。特别是，我们给出了解决方案空间尺寸的组合公式，当k = 3和n = 3时，当参数λ（多重指数）接近无限年时，我们确定了渐近行为。

项目成果

H.Sekiguchi: "The Penrose transform for Sp(n,R) and singular unitary representations"Journal of the Mathematical Society of Japan. 54. 216-253 (2002)

H.Sekiguchi：“Sp(n,R) 的彭罗斯变换和奇异酉表示”日本数学会杂志。

H.Sekiguchi: "The Penrose transform for Sp(n, R,) and singular unitary representations"Journal of the Mathematical Society of Japan. 54. 216-253 (2002)

H.Sekiguchi：“Sp(n, R,) 的彭罗斯变换和奇异酉表示”日本数学会杂志。