有界対称領域上の微分方程式の大域解とペンローズ変換

有界对称域上微分方程的全局解和彭罗斯变换

• 批准号: 08740104
• 负责人: 関口 英子
• 金额: $ 0.64万
• 依托单位: Kobe University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08740104/
• 关键词: ペンローズ変換; 半単純リー群; ユニタリ表現; 有界対称領域; 複素多様体; 積分幾何; 概均質ベクトル空間; 超幾何函数

A型リー群の有界対称領域に対して以下に述べるプロジェクト1,2,3を完成させた。1.ペンローズ変換の構成次の2つの変換をモデルとして,数理物理で初めて用いられたペンローズ変換を非コンパクトかつ高次元の複素多様体に拡張して構成できることを証明した。(1)(積分幾何における立場)部分多様体の族が与えられているとき,各部分多様体の上で積分する(ラドン変換,X線変換など)。(2)(コホモロジーの引き戻し)部分多様体の族が与えられているtoki,コホモロジーの元を各部分多様体に引き戻すことができる。2.佐藤幹夫氏の概均質ベクトル空間の理論の有界対称領域への応用次の2つの定理を定式化し,証明した。(1)1で構成したペンローズ変換の像が満たす偏微分方程式を具体的に求めること。(2)逆に微分方程式を満たす任意の正則函数がペンロース変換の像として得られること。概均質ベクトル空間の理論を用いて(1)と(2)を研究する新しい手法を開発した。特別な場合には,複雑な計算の過程が、特別な可解リー群の概均質ベクトル空間の相対不変式とb-函数を用いることで一挙に簡単になることを(関口,博士論文)で見いだした。この計算を追求することによって、b-函数と差分方程式を用いる原理を見いだし,(1)と(2)を証明した。可解リー群としては有界対称領域の運動群(半単純リー群)のBorel部分群がその役割を担い,Bruhat分解における変数分離の手法が鍵となった。3.Gauss-青本-Gelfandの超幾何微分方程式の高階への拡張と解の有限次元性定理ペンローズ変換はMaxwellの微分方程式の解を構成するのに用いられたわけであるが、我々の高次元への拡張では微分方程式系が,丁度,Gauss-青本-Gefandの超幾何微分方程式の高階化となっている、大域解の空間の次元が有限であることを小林俊行氏(東大)によるユニタリ表現の分岐に関する最近の一般論を援用して証明した。

The A-type リ リ group has A bounded symmetric domain に for て the following に says べるプロジェ ト ト1,2,3を completes させた. 1. ペ ン ロ ー ズ variations in の constitute の 2 つ の variations in を モ デ ル と し て, at the beginning of mathematical physics で め て in い ら れ た ペ ン ロ ー ズ variations in を non コ ン パ ク ト か つ high dimensional の complex element more others body に company, zhang し て constitute で き る こ と を prove し た. (1) (integral geometry に お け る) many others body の が and え ら れ て い る と き, on the part of each others more body の で integral す る (ラ ド ン variations change, X-ray variations in な ど). (2) (コ ホ モ ロ ジ ー の lead き 戻 し) many others body の が and え ら れ て い る toki, コ ホ モ ロ ジ ー の yuan を parts more than others in body に lead き 戻 す こ と が で き る. 2. Sato Kiyoshi 's <s:1> almost homogeneous ベ, ト, ト, <s:1> space <s:1>, theory <e:1>, bounded symmetric field へ, 応, using the order <s:1> 2 <s:1> theorem を, formalize the を and prove the た た. (1) 1 で constitute し た ペ ン ロ ー ズ variations in の like が against た す partial differential equations を specific に o め る こ と. (2) inverse に differential equations を against た す の any regular function が ペ ン ロ ー ス variations in の like と し て must ら れ る こ と. Almost homogeneous ベ ク ト ル space を の theory with い て と (1) (2) を research す る new し い gimmick を open 発 し た. Particularly な に は, complex 雑 な が の process calculation, especially な solvable リ ー group の is homogeneous ベ ク ト ル space の facies dominated not を と - b - type function with い る こ と で a 挙 に Jane 単 に な る こ と を (masato mouth, PhD thesis) で see い だ し た. こ の computing を pursuit す る こ と に よ っ て と difference equation, b - function を with い る principle を see い だ し, と (1) (2) を prove し た. Solvable リ ー group と し て は bounded polices according to field の movement group (half 単 pure リ ー group) の Borel part of the group of が そ cut を bear い の service, Bruhat decomposition に お け る の - several separation technique が key と な っ た. 3. The Gauss - green bin Gelfand の hypergeometric differential equations の higher-order へ の company, zhang と solution の finite dimensional theorem ペ ン ロ ー ズ variations in は の Maxwell differential equations を の solutions constitute す る の に with い ら れ た わ け で あ る が, I 々 の high dimensional へ の company, zhang で は differential equations system が, tinto, Gauss - green bin Ge Fand の hypergeometric differential equations の high order と な っ て い る の の dimensional space, large domain solution が limited で あ る こ と を kobayashi line jung's (grand) に よ る ユ ニ タ の リ performance gaps に masato す る の general theory recently を invoking し て prove し た.

项目成果

H.Sekiguchi: "The Penrose transform for certain non-compact homogeneous manifolds of U(n,n)" Journal of Mathematical Sciences,The University of Tokyo. 3-3. 655-697 (1996)

H.Sekiguchi：“U(n,n) 的某些非紧齐次流形的彭罗斯变换”，东京大学数学科学杂志。

H.Sekiguchi: "System of differential equations on the bounded symmetric domain of AIII type and the Penrose transform" 京都大学数理解析研究所講究録. (to appear).

H. Sekiguchi：“AIII 型有界对称域和彭罗斯变换的微分方程组”，京都大学数学科学研究所（待发表）。