ループ空間からの量子コホモロジー環へのアプローチ

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前年度に引き続き,必ずしもファノ(Fano)とは限らないトーリック多様体のミラー対称性および量子コホモロジーについて研究を進めた.ファノなトーリック多様体の量子コホモロジーはミラーの振動積分によって決定される(ミラー対称性).前年度の研究では,このミラー対称性をファノではない場合に拡張し,トーリック多様体の量子コホモロジーがファノであるとないとにかかわらず半単純であることを観察した.今年度はこの観察に基づき,トーリック多様体の同変量子コホモロジーに対するR予想を証明した.Giventalの理論により,このR予想からトーリック多様体の(全種数にわたる)グロモフ・ウィッテン理論に対するビラソロ予想が従う.またR予想の証明の系として,トーリック多様体がファノでなくても,対応するミラーの振動積分は(特別なサイクルに対して)量子コホモロジーD加群の形式解を与えることも分かる.またファノとは限らないトーリック多様体の量子コホモロジーを扱った前年度のプレプリントの証明にギャップを見つけ,その修正も行った.次に,量子コホモロジーのK理論版である量子K理論の研究を進めた.ループ空間を用いた発見的方法を用いると量子K理論は差分加群の構造をもつと予想されるが,ある条件を満たす差分加群から逆に量子K理論と同じ構造を持つものが構成できることを観察した.ここでの差分加群はK(BS^1)(形式べき級数環)上ではなく,1点のS^1同変K群(ローラン多項式環)上で定義されるのが自然であり,これは量子K理論の剛性(rigidity)を示唆していると思われる.さらに一般の複素向きづけられたコホモロジー理論にK理論の場合の観察を拡張するのも今後の課題である.さらに,トーリック軌道体(toric orbifold)の量子コホモロジーについてもループ空間の代数的なモデルを用いた研究を現在進めている.