量子コホモロジーとフレアホモトピーの研究

量子上同调与耀斑同伦研究

• 批准号: 06J10158
• 负责人: 入谷 寛
• 金额: $ 0.77万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2006
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2006 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-06J10158/
• 关键词: 量子コホモロジー; 軌道体; Gromov-Witten理論; Floerコホモロジー; Frobenius多様体; 国際情報交換:イギリス:カナダ; クレパント解消; 量子Lefschetz

本年度はTom Coates氏、Alessio Corti氏、Hsian-Hua Tseng氏と共同でトーリック軌道体の量子コホモロジーを研究した。まず、トーリック軌道体から代数的に定義されるある種のループ空間の幾何を調べ、その半無限次元同変コホモロジー(同変Floerコホモロジー)を構成した。これはトーリックが滑らかである時の報告者の構成を軌道体の場合に拡張したものである。この半無限次元コホモロジーはトーリック軌道体の量子コホモロジーを与えると予想される。半無限次元コホモロジーの局所化写像として自然に定義されるI関数を用いて、我々はトーリック軌道体に対するミラー予想を定式化した。さらに、この結果に基づいてケーラー類の壁越えで互いに移りあうトーリック軌道体の量子コホモロジー同士の関係を調べた。特に、壁越えがクレパント、すなわち壁越えで標準類が保たれる場合には異なる量子コホモロジーはある線型シンプレクティック変換によって移りあうことが示された。ここで現れるシンプレクティック変換はGiventalによる無限次元シンプレクティックベクトル空間Hに作用し、量子コホモロジーはこのH内の錐(cone)として実現される。クレパントな壁越えの一例として、軌道体のクレパント解消がある。この場合にはYongbin Ruanにより軌道体とその解消の量子コホモロジーがある解析接続で移りあうことが予想されていた(クレパント解消予想)。さらに、Bryan-Graberによりこの予想はFrobenius多様体の同型として定式化されていた。我々の結果からBryan-Graberによる定式化は実は強すぎ、環の変形族としての同型はいえても、Frobenius多様体の同型まではいえないことが示唆された。さらに、Frobenius多様体の同型がいえるための十分条件として、軌道体がHard Lefschetz条件をみたす、という条件を新たに提案した。引き続いて、我々はHsian-Hua Tseng氏による軌道体Gromov-Witten理論に対する量子Lefschetz定理を大幅に改良し、より広いクラスの直線束によるねじり(twist)に関する量子Lefschetz定理を証明した。これを用いて、A_n型の曲面特異点に対して軌道体量子コホモロジーを計算し、この場合のクレパント解消予想を証明した。一方、上の壁越えの研究と平行して、報告者は単独に(軌道体)量子コホモロジーに潜んでいる実数および整数上の構造を研究した。これはミラーにおいて明らかに存在している実数、整数上の構造が量子コホモロジー側でどのように見えるかを調べる研究である。報告者は、ある条件の下で軌道体量子コホモロジーの実数上の構造がある種の「横断性」を満たすことを示した。これは量子コホモロジーにおけるtt*幾何学(実数上の幾何学)の存在を示唆している。また、トーリックの場合にミラーの振動積分とI関数との関係(微分方程式の接続問題)を解き、ミラーから来る整数上の構造をトーリックの量子コホモロジーの言葉で部分的に記述した。

This year, Tom Coates, Alessio Corti, and Hsian-Hua Tseng are jointly conducting research on quantum physics of orbital bodies.まず, トーリック Orbital body からにDefinition of algebra されるあるkind of のループSpace のgeometry をtone べ, その Semi-infinite dimension 同変コホモロジー(同変Floerコホモロジー)を consists of した.これはトーリックが slippery らかである时のreporter の constitute を orbital body の occasion に拡张したものである. The semi-infinite dimension コホモロジーはトーリック orbital body のquantum コホモロジーを and the えるとyuxiang される. Semi-infinite dimension コホモロジーのbureau transformed image としてnatural にDefinition されるI switch numberをUse いて, I 々はトーリック orbital body に対するミラーyu want to をformalize した.さらに、このRESULTSあうトーリックOrbital bodyのquantumコホモロジー同士のrelationsを动べた. Special に、Bikoshi えがクレパント、Bikoshi えでstandard type が宝たれるoccasion にはdifferent なるquantumコホモロジーはある Line type シンプレクティック変change によってshift りあうことが Show された.ここで成れるシンプレクティック変changeはGiventalによるInfinite Dimension シンプレクティックベクトルspace Hにeffectし, quantum コホモロジーはこのH内のcone (cone) として実appears される.クレパントな wall crossing えの一 Example として, orbital body のクレパント 解杀がある.このoccasionにはYongbin RuanによりOrbital body and solution of quantum system analysis Receive the 続でmovable りあうことが yuxiang されていた(クレパント dissolve the yuxiang).さらに、Bryan-Graberによりこの如意はFrobenius poly様体の Same type and として成されていた.我々のRESULTSからBryan-Graberによる成は実は强すぎ、环の変shaped组としての Same type はいえても, Frobenius poly様体 の Same type まではいえないことが时憆された.さらに, Frobenius multi-body の Same type がいえるための十condition として, orbital body がHard Lefschetz condition をみたす, という condition を新たに proposal した. Hsian-Hua Tseng's orbital body Gromov-Witten theory and quantum Lefschetz theorem have been significantly modified. Good し, より広いクラスのstraight-line beam によるねじり (twist) に Off す る quantum Lefschetz theorem を proof した. Calculation using いて, A_n type curved surface singular point に対して orbital body quantum コホモロジーを calculation し, この occasion のクレパント undo the thought を prove した. One side, the upper wall and the parallel structure of the upper wall, the reporter is the quantum structure of the orbital body. The structure of the number and the integerがquantumコホモロジーlateral でどのように见えるかを动べる Research である. Reporter は、ある Conditions で で Orbital body quantum コホモロジー の実上のstructural があるkind の「Transverseness」 を満たすことを Show した.これはquantumコホモロジーにおけるtt*geometry(実number上のgeometry)のexistentをshows唆している. The solution of the vibration integral and I-off number relationship (connection problem of differential equations) in the case of また, トーリックのき, ミラーから来るINTEGR のSTRUCTURE をトーリックのquantum コホモロジーの语葉で的に记した.