有限体上において多数の有理点をもつ代数曲線の研究

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1970年代にGoppaが代数幾何符号を発見して,有限体上において多数の有理点をもつ代数曲線から効率の良い誤り訂正符号を構成できることを示した.符号化や復号アルゴリズムが既に完成し,代数曲線の構成問題のみが残されている.その中でも特に大事なSerre上界に達する代数曲線について研究した.Serre上界に達する代数曲線について得た結果を紹介する.pを素数とする.定理1.,有限体F_p上の次数6のFermat曲線がSerre上界に達する必要十分条件は,p=1mod12,[2√P]=1mod3,p=[√P]^2+27r^2となる自然数rが存在することである.定理2.有限体F_p上の代数曲線y^12=x^4(x+16)がSerre上界に達する必要十分条件は,p=1mod12,[2√P]=1mod3,[√P]=2mod3,p=[√P]^2+27r^2となる自然数rが存在することである.これらの代数曲線のJacobianが楕円曲線に分解する.それを利用して楕円曲線の有理点数をJacobi和で表して,定理を証明した.同じような方法で,有限体上Serre下界に津する必要十分条件,Serre上界-g, Serre下界+g個の有理点をもつ素数pの必要十分条件も与えた.ここでgは種数.この性質に注目して他にSerre上界に達する代数曲線がないか探索を行っている.